ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 680 Атанасян — Подробные Ответы

Серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( D \) стороны \( BC \). Докажите, что:  

а) точка \( D \) — середина стороны \( BC \);  

б) \( \angle A = \angle B + \angle C \).

Дано: \(\triangle ABC\), \(FD \perp AC\), \(DE \perp AB\), \(BE = EA\), \(AF = FC\), \(ED \cap DF = D\).

Доказательство:

1. \(ED\) — серединный перпендикуляр, следовательно:
\(
BD = AD \text{ (по свойству серединного перпендикуляра)}.
\)

2. \(DF\) — серединный перпендикуляр, следовательно:
\(
DC = AD \text{ (по свойству серединного перпендикуляра)}.
\)

3. Так как \(BD = AD\) и \(DC = AD\), то:
\(
BD = DC.
\)

4. Угол \(\angle A\) можно записать как:
\(
\angle A = \angle BAD + \angle DAC.
\)

5. Так как \(\triangle ABD\) равнобедренный (\(BD = AD\)), то:
\(
\angle B = \angle BAD.
\)

6. Аналогично, так как \(\triangle ADC\) равнобедренный (\(DC = AD\)), то:
\(
\angle C = \angle DAC.
\)

7. Следовательно, угол \(\angle A\) равен:
\(
\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle C.
\)

Ответ:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).

Дано: \(\triangle ABC\), \(FD \perp AC\), \(DE \perp AB\), \(BE = EA\), \(AF = FC\), \(ED \cap DF = D\).

Требуется доказать:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). По условию, точка \(D\) — точка пересечения серединных перпендикуляров \(ED\) и \(DF\). Это означает, что точка \(D\) равноудалена от всех вершин треугольника \(A\), \(B\), \(C\).

2. Из свойства серединного перпендикуляра \(ED\) следует, что \(BD = AD\). Аналогично, из свойства серединного перпендикуляра \(DF\) следует, что \(DC = AD\).

3. Так как \(BD = AD\) и \(DC = AD\), то \(BD = DC\). Таким образом, сторона \(BC\) делится точкой \(D\) пополам. Это доказывает пункт а).

4. Теперь докажем пункт б). Рассмотрим углы \(\angle BAD\) и \(\angle DAC\). Угол \(\angle A\) можно представить как сумму:
\(
\angle A = \angle BAD + \angle DAC.
\)

5. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\). Так как \(BD = AD\), треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:
\(
\angle B = \angle BAD.
\)

6. Аналогично, в треугольнике \(\triangle ADC\), так как \(DC = AD\), треугольник также равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:
\(
\angle C = \angle DAC.
\)

7. Подставим эти значения в выражение для угла \(\angle A\):
\(
\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle C.
\)

8. Теперь учтем, что угол \(A\) в треугольнике \(\triangle ABC\) является внешним для треугольника \(\triangle BDC\). Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, угол \(\angle A\) можно записать как:
\(
\angle A = 2\angle B + 2\angle C.
\)

Ответ:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).