Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 680 Атанасян — Подробные Ответы
Серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( D \) стороны \( BC \). Докажите, что:
а) точка \( D \) — середина стороны \( BC \);
б) \( \angle A = \angle B + \angle C \).
Дано: \(\triangle ABC\), \(FD \perp AC\), \(DE \perp AB\), \(BE = EA\), \(AF = FC\), \(ED \cap DF = D\).
Доказательство:
1. \(ED\) — серединный перпендикуляр, следовательно:
\[
BD = AD \text{ (по свойству серединного перпендикуляра)}.
\]
2. \(DF\) — серединный перпендикуляр, следовательно:
\[
DC = AD \text{ (по свойству серединного перпендикуляра)}.
\]
3. Так как \(BD = AD\) и \(DC = AD\), то:
\[
BD = DC.
\]
4. Угол \(\angle A\) можно записать как:
\[
\angle A = \angle BAD + \angle DAC.
\]
5. Так как \(\triangle ABD\) равнобедренный (\(BD = AD\)), то:
\[
\angle B = \angle BAD.
\]
6. Аналогично, так как \(\triangle ADC\) равнобедренный (\(DC = AD\)), то:
\[
\angle C = \angle DAC.
\]
7. Следовательно, угол \(\angle A\) равен:
\[
\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle C.
\]
Ответ:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).
Дано: \(\triangle ABC\), \(FD \perp AC\), \(DE \perp AB\), \(BE = EA\), \(AF = FC\), \(ED \cap DF = D\).
Требуется доказать:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). По условию, точка \(D\) — точка пересечения серединных перпендикуляров \(ED\) и \(DF\). Это означает, что точка \(D\) равноудалена от всех вершин треугольника \(A\), \(B\), \(C\).
2. Из свойства серединного перпендикуляра \(ED\) следует, что \(BD = AD\). Аналогично, из свойства серединного перпендикуляра \(DF\) следует, что \(DC = AD\).
3. Так как \(BD = AD\) и \(DC = AD\), то \(BD = DC\). Таким образом, сторона \(BC\) делится точкой \(D\) пополам. Это доказывает пункт а).
4. Теперь докажем пункт б). Рассмотрим углы \(\angle BAD\) и \(\angle DAC\). Угол \(\angle A\) можно представить как сумму:
\[
\angle A = \angle BAD + \angle DAC.
\]
5. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\). Так как \(BD = AD\), треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:
\[
\angle B = \angle BAD.
\]
6. Аналогично, в треугольнике \(\triangle ADC\), так как \(DC = AD\), треугольник также равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:
\[
\angle C = \angle DAC.
\]
7. Подставим эти значения в выражение для угла \(\angle A\):
\[
\angle A = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle C.
\]
8. Теперь учтем, что угол \(A\) в треугольнике \(\triangle ABC\) является внешним для треугольника \(\triangle BDC\). Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, угол \(\angle A\) можно записать как:
\[
\angle A = 2\angle B + 2\angle C.
\]
Ответ:
а) \(BD = DC\);
б) \(\angle A = 2\angle B + 2\angle C\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.