Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 678 Атанасян — Подробные Ответы
Биссектрисы \( AA_1 \) и \( BB_1 \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( M \). Найдите углы \( \angle ACM \) и \( \angle BCM \), если:
а) \( \angle AMB = 136^\circ \);
б) \( \angle AMB = 111^\circ \).
Дано:
\(\triangle ABC\);
\(AA_1, BB_1\) — биссектрисы;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\);
\(\angle AMB = 136^\circ\) (в пункте а), \(\angle AMB = 111^\circ\) (в пункте б).
Найти:
\(\angle ACM, \angle BCM\).
Решение:
а)
1. Точка \(M\) — пересечение биссектрис \(AA_1\) и \(BB_1\), значит \(CM\) — биссектриса, следовательно, \(\angle BCM = \angle MCA\).
2. В \(\triangle ABM\): \(\angle BAM + \angle ABM = 180^\circ — 136^\circ = 44^\circ\).
3. Углы \(\angle A\) и \(\angle B\): \(\angle A = 2\angle BAM\), \(\angle B = 2\angle ABM\).
4. Угол \(\angle C = 180^\circ — (\angle A + \angle B) = 180^\circ — (44^\circ + 44^\circ) = 92^\circ\).
5. \(\angle ACM = \angle BCM = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ\).
б)
1. Точка \(M\) — пересечение биссектрис \(AA_1\) и \(BB_1\), значит \(CM\) — биссектриса, следовательно, \(\angle BCM = \angle MCA\).
2. В \(\triangle ABM\): \(\angle BAM + \angle ABM = 180^\circ — 111^\circ = 69^\circ\).
3. Углы \(\angle A\) и \(\angle B\): \(\angle A = 2\angle BAM\), \(\angle B = 2\angle ABM\).
4. Угол \(\angle C = 180^\circ — (\angle A + \angle B) = 180^\circ — (69^\circ + 69^\circ) = 42^\circ\).
5. \(\angle ACM = \angle BCM = \frac{42^\circ}{2} = 21^\circ\).
Ответ:
а) \(\angle ACM = \angle BCM = 46^\circ\);
б) \(\angle ACM = \angle BCM = 21^\circ\).
Дано:
\(\triangle ABC\);
\(AA_1, BB_1\) — биссектрисы;
\(AA_1 \cap BB_1 = M\);
\(\angle AMB = 136^\circ\) (в пункте а), \(\angle AMB = 111^\circ\) (в пункте б).
Найти:
\(\angle ACM, \angle BCM\).
Решение:
а)
1. Точка \(M\) является точкой пересечения биссектрис \(AA_1\) и \(BB_1\), следовательно, \(CM\) также является биссектрисой угла \(\angle C\). Это означает, что \(\angle BCM = \angle MCA\).
2. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABM\). По свойству суммы углов треугольника:
\[
\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ.
\]
Подставляем значение \(\angle AMB = 136^\circ\):
\[
\angle BAM + \angle ABM = 180^\circ — 136^\circ = 44^\circ.
\]
3. Так как \(AA_1\) — биссектриса, то \(\angle A = 2\angle BAM\). Аналогично, так как \(BB_1\) — биссектриса, то \(\angle B = 2\angle ABM\).
4. Угол \(\angle C\) можно найти по свойству суммы углов треугольника:
\[
\angle C = 180^\circ — (\angle A + \angle B).
\]
Подставляем выражения для углов \(\angle A\) и \(\angle B\):
\[
\angle C = 180^\circ — (2\angle BAM + 2\angle ABM).
\]
Ранее мы нашли, что \(\angle BAM + \angle ABM = 44^\circ\), поэтому:
\[
\angle C = 180^\circ — 2 \cdot 44^\circ = 180^\circ — 88^\circ = 92^\circ.
\]
5. Так как \(CM\) — биссектриса угла \(\angle C\), то:
\[
\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ.
\]
б)
1. Точка \(M\) является точкой пересечения биссектрис \(AA_1\) и \(BB_1\), следовательно, \(CM\) также является биссектрисой угла \(\angle C\). Это означает, что \(\angle BCM = \angle MCA\).
2. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABM\). По свойству суммы углов треугольника:
\[
\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ.
\]
Подставляем значение \(\angle AMB = 111^\circ\):
\[
\angle BAM + \angle ABM = 180^\circ — 111^\circ = 69^\circ.
\]
3. Так как \(AA_1\) — биссектриса, то \(\angle A = 2\angle BAM\). Аналогично, так как \(BB_1\) — биссектриса, то \(\angle B = 2\angle ABM\).
4. Угол \(\angle C\) можно найти по свойству суммы углов треугольника:
\[
\angle C = 180^\circ — (\angle A + \angle B).
\]
Подставляем выражения для углов \(\angle A\) и \(\angle B\):
\[
\angle C = 180^\circ — (2\angle BAM + 2\angle ABM).
\]
Ранее мы нашли, что \(\angle BAM + \angle ABM = 69^\circ\), поэтому:
\[
\angle C = 180^\circ — 2 \cdot 69^\circ = 180^\circ — 138^\circ = 42^\circ.
\]
5. Так как \(CM\) — биссектриса угла \(\angle C\), то:
\[
\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{42^\circ}{2} = 21^\circ.
\]
Ответ:
а) \(\angle ACM = \angle BCM = 46^\circ\);
б) \(\angle ACM = \angle BCM = 21^\circ\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.