Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 677 Атанасян — Подробные Ответы
Биссектрисы внешних углов при вершинах \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( O \). Докажите, что точка \( O \) является центром окружности, касающейся прямых \( AB \), \( BC \), \( AC \).
Дано:
Треугольник \(ABC\), биссектрисы \(BO\) и \(CO\), их пересечение в точке \(O\).
Доказать:
Точка \(O\) — центр окружности, а \(AB\), \(BC\), \(AC\) — касательные.
Решение:
1. \(BO\) — биссектриса угла \(\angle KBC\), значит \(OF \perp BK\), \(OD \perp BC\), \(OD = OE\) (по свойству биссектрис).
2. \(CO\) — биссектриса угла \(\angle BCM\), значит \(OD \perp BC\), \(OF \perp CM\), \(OD = OF\) (по свойству биссектрис).
3. Так как \(OD = OE\) и \(OD = OF\), то радиусы равны: \(OE = OF = OD\).
4. Следовательно, \(AB\), \(BC\), \(AC\) — касательные к окружности с центром в точке \(O\).
Что и требовалось доказать.
Дано:
Треугольник \(ABC\), \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\).
Доказать:
Точка \(O\) является центром окружности, а \(AB\), \(BC\), \(AC\) — касательные.
Решение:
1. Рассмотрим биссектрису \(BO\) треугольника \(ABC\).
По свойству биссектрис, она делит угол \(\angle KBC\) пополам.
Следовательно, \(OF \perp BK\) (перпендикуляр к стороне \(BK\)),
\(OD \perp BC\) (перпендикуляр к стороне \(BC\)),
а также \(OD = OE\) (радиусы окружности, проведённые из центра к точкам касания).
2. Аналогично рассмотрим биссектрису \(CO\) треугольника \(ABC\).
Она делит угол \(\angle BCM\) пополам.
Следовательно, \(OD \perp BC\) (перпендикуляр к стороне \(BC\)),
\(OF \perp CM\) (перпендикуляр к стороне \(CM\)),
а также \(OD = OF\) (радиусы окружности, проведённые из центра к точкам касания).
3. Из свойств биссектрис следует, что \(OD = OE = OF\).
Это означает, что точка \(O\) равноудалена от сторон треугольника \(AB\), \(BC\), \(AC\).
Таким образом, точка \(O\) является центром окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
4. Так как \(OE \perp BK\), \(OD \perp BC\), \(OF \perp CM\), то прямые \(AB\), \(BC\), \(AC\) касаются окружности,
радиус которой равен \(OE = OF = OD\).
Следовательно, точка \(O\) является центром окружности, а \(AB\), \(BC\), \(AC\) — касательные к этой окружности.
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.