Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 676 Атанасян — Подробные Ответы
Стороны угла \( A \) касаются окружности с центром \( O \) радиуса \( r \). Найдите:
а) \( OA \), если \( r = 5 \, \text{см} \), \( \angle A = 60^\circ \);
б) \( r \), если \( OA = 14 \, \text{дм} \), \( \angle A = 90^\circ \).
а) Дано: \(OB \perp AB\) и \(OC \perp AC\), следовательно, \(OA\) — биссектриса. Углы при вершине \(A\) равны: \(\angle BAO = \angle OAC = 30^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(\triangle OAB\) гипотенуза \(OA\) равна удвоенному катету \(BO\), поскольку \(\angle A = 30^\circ\):
\(
OA = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{см}.
\)
б) Дано: \(OB \perp AB\) и \(OC \perp AC\), следовательно, \(OA\) — биссектриса. Углы при вершине \(A\) равны: \(\angle BAO = \angle OAC = 45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(\triangle OAB\) гипотенуза \(OA = 14 \, \text{дм}\). Треугольник равнобедренный (\(\angle BOA = 45^\circ\)), следовательно, катеты равны: \(AB = BO = r\).
Используя теорему Пифагора:
\(
OA^2 = AB^2 + BO^2 \Rightarrow 14^2 = 2r^2 \Rightarrow 196 = 2r^2 \Rightarrow r^2 = \)
\(=98 \Rightarrow r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \, \text{дм}.
\)
Ответ:
а) \(OA = 10 \, \text{см}\);
б) \(r = 7\sqrt{2} \, \text{дм}\).
а) Рассмотрим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r = 5 \, \text{см}\). Касательные \(AB\) и \(AC\) проведены из точки \(A\). Угол между касательными \(\angle BAC = 60^\circ\). Требуется найти расстояние \(OA\).
1) Так как \(AB\) и \(AC\) — касательные, радиусы \(OB\) и \(OC\) перпендикулярны этим касательным. Следовательно, треугольник \(OAB\) является прямоугольным.
2) Угол \(\angle BAC = 60^\circ\), а точка \(A\) лежит на биссектрисе угла между касательными. Значит, углы при вершине \(A\) равны:
\(
\angle BAO = \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.
\)
3) В прямоугольном треугольнике \(OAB\), где \(\angle BAO = 30^\circ\), гипотенуза \(OA\) равна удвоенному катету \(BO\) (свойство прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\)):
\(
OA = 2 \cdot BO.
\)
4) Подставляем значение радиуса:
\(
OA = 2 \cdot r = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{см}.
\)
Ответ: \(OA = 10 \, \text{см}\).
б) Рассмотрим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Касательные \(AB\) и \(AC\) проведены из точки \(A\). Угол между касательными \(\angle BAC = 90^\circ\). Расстояние от точки \(A\) до центра окружности \(OA = 14 \, \text{дм}\). Требуется найти радиус окружности \(r\).
1) Так как \(AB\) и \(AC\) — касательные, радиусы \(OB\) и \(OC\) перпендикулярны этим касательным. Следовательно, треугольник \(OAB\) является прямоугольным.
2) Угол \(\angle BAC = 90^\circ\), а точка \(A\) лежит на биссектрисе угла между касательными. Значит, углы при вершине \(A\) равны:
\(
\angle BAO = \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.
\)
3) В прямоугольном треугольнике \(OAB\) угол \(\angle BOA = 45^\circ\). Следовательно, треугольник \(OAB\) равнобедренный, и катеты равны:
\(
AB = BO = r.
\)
4) По теореме Пифагора:
\(
OA^2 = AB^2 + BO^2.
\)
Подставляем \(AB = BO = r\) и \(OA = 14 \, \text{дм}\):
\(
14^2 = r^2 + r^2 \Rightarrow 196 = 2r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{196}{2} = 98 \Rightarrow r = \sqrt{98}.
\)
5) Упростим значение радиуса:
\(
r = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} \, \text{дм}.
\)
Ответ: \(r = 7\sqrt{2} \, \text{дм}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.