Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 675 Атанасян — Подробные Ответы
Стороны угла \( O \) касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке \( A \). Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой \( OA \).
Дано: \( (O_1, R) \cap (O_2, r) = A \).
Доказательство:
\( BC \) и \( B_1C_1 \) — касательные к окружностям, значит \( O_1B \perp BC; O_2C \perp BC; O_1B_1 \perp B_1C_1; O_2C_1 \perp B_1C_1 \). Следовательно, точки \( O_1 \) и \( O_2 \) лежат на биссектрисе \( OO_2 \) по свойству биссектрисы.
Так как \( AK = AK_1 \) (по свойству биссектрис), то \( A \in OO_2 \), что и требовалось доказать.
Дано: \( (O_1, R) \cap (O_2, r) = A \).
Необходимо доказать: \( O_1 \in OA \) и \( O_2 \in OA \).
Рассмотрим окружности \( (O_1, R) \) и \( (O_2, r) \). Точки пересечения окружностей \( A \) и касательные \( BC \), \( B_1C_1 \) играют ключевую роль в доказательстве.
1. \( BC \) и \( B_1C_1 \) — касательные к окружностям, следовательно, радиусы \( O_1B \) и \( O_2C \) перпендикулярны \( BC \), то есть:
\[ O_1B \perp BC \quad \text{и} \quad O_2C \perp BC. \]
Аналогично радиусы \( O_1B_1 \) и \( O_2C_1 \) перпендикулярны \( B_1C_1 \):
\[ O_1B_1 \perp B_1C_1 \quad \text{и} \quad O_2C_1 \perp B_1C_1. \]
2. Из свойств биссектрисы следует, что точки \( O_1 \) и \( O_2 \) лежат на биссектрисе угла \( OO_2 \), так как радиусы, проведенные к касательным, равны.
3. Рассмотрим отрезки \( AK \) и \( AK_1 \). По свойству биссектрисы они равны, то есть:
\[ AK = AK_1. \]
4. Так как точка \( A \) лежит на биссектрисе \( OO_2 \), то она принадлежит прямой, проходящей через центры окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \).
Таким образом, доказано, что \( O_1 \in OA \) и \( O_2 \in OA \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.