Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 672 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку \( A \), лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках \( B_1 \) и \( C_1 \), а другая — в точках \( B_2 \) и \( C_2 \). Докажите, что \( AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2 \).
Дано: окружность \((O; r)\), \(AC_1\) и \(AC_2\) — секущая, точки \(B_1, B_2, C_1, C_2\) принадлежат окружности.
Рассмотрим треугольники \(\triangle AC_1B_2\) и \(\triangle AC_2B_1\). У них общий угол \(\angle A\), а также углы \(\angle AC_2B_1\) и \(\angle AC_1B_2\) равны, так как оба составляют половину дуги \(\angle B_1B_2\).
По признаку подобия треугольников (\(\sim\) по двум углам):
\[
\frac{AC_1}{AC_2} = \frac{AB_2}{AB_1}.
\]
Умножая пропорцию на \(AC_2 \cdot AB_1\), получаем:
\[
AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2.
\]
Доказано.
Дано:
Окружность \((O; r)\), \(AC_1\) и \(AC_2\) — секущая, точки \(B_1, B_2, C_1, C_2\) принадлежат окружности. Требуется доказать равенство:
\[
AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2.
\]
Рассмотрим треугольники \(\triangle AC_1B_2\) и \(\triangle AC_2B_1\).
1. Общий угол:
У треугольников \(\triangle AC_1B_2\) и \(\triangle AC_2B_1\) угол \(\angle A\) является общим.
2. Равенство углов:
Углы \(\angle AC_1B_2\) и \(\angle AC_2B_1\) равны, так как оба составляют половину дуги \(\angle B_1B_2\):
\[
\angle AC_1B_2 = \angle AC_2B_1 = \frac{1}{2} \angle B_1B_2.
\]
3. Признак подобия:
Таким образом, треугольники \(\triangle AC_1B_2\) и \(\triangle AC_2B_1\) подобны по двум углам (\(\sim\)).
4. Пропорция сторон:
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
\[
\frac{AC_1}{AC_2} = \frac{AB_2}{AB_1}.
\]
5. Умножение пропорции:
Умножим обе части пропорции на \(AC_2 \cdot AB_1\):
\[
AC_1 \cdot AB_1 = AC_2 \cdot AB_2.
\]
6. Вывод:
Таким образом, равенство доказано:
\[
AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2.
\]
Доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.