Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 670 Атанасян — Подробные Ответы
Через точку \( A \) проведены касательная \( AB \) (\( B \) — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках \( P \) и \( Q \). Докажите, что \( AB^2 = AP \cdot AQ \) (теорема о квадрате касательной).
Дано:
\(AB\) — касательная, \(AQ\) — секущая, точки \(P\) и \(Q\) лежат на окружности.
Необходимо доказать:
\(
AB^2 = AP \cdot AQ
\)
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABP\) и \(\triangle ABQ\). Угол \(\angle A\) общий, а углы \(\angle ABP\) и \(\angle ABQ\) равны, так как они опираются на одну дугу. Следовательно, треугольники \(\triangle ABP\) и \(\triangle ABQ\) подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция:
\(
\frac{AB}{AP} = \frac{BQ}{AB}.
\)
Умножая пропорцию на \(AB\), получаем:
\(
AB^2 = AP \cdot AQ.
\)
Таким образом, доказано, что квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей.
Дано:
Окружность \(O; r\), \(AB\) — касательная, \(AQ\) — секущая, точки \(P\) и \(Q\) принадлежат окружности и лежат на прямой \(AQ\).
Необходимо доказать:
\(
AB^2 = AP \cdot AQ
\)
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABP\) и \(\triangle ABQ\).
Угол \(\angle A\) общий для обоих треугольников. Углы \(\angle ABP\) и \(\angle ABQ\) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Следовательно, треугольники \(\triangle ABP\) и \(\triangle ABQ\) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорция:
\(
\frac{AB}{AP} = \frac{BP}{BQ}.
\)
Перепишем это в виде:
\(
AB \cdot BQ = AP \cdot BP.
\)
Также из подобия треугольников следует пропорция:
\(
\frac{AQ}{AB} = \frac{BQ}{BP}.
\)
Перепишем это в виде:
\(
AQ \cdot BP = AB \cdot BQ.
\)
Теперь объединим два полученных равенства. Учитывая, что \(BP = BQ\), получаем:
\(
AB^2 = AP \cdot AQ.
\)
Таким образом, доказано, что квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.