ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 669 Атанасян — Подробные Ответы

Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Для нахождения отрезка, равного среднепропорциональному для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\), выполните следующие шаги:

1. Постройте прямую и отметьте на ней последовательно отрезки \(AB\) и \(BC\), чтобы точки \(B\) и \(C\) шли друг за другом.
2. Найдите середину отрезка \(AC\) и обозначьте её точкой \(O\).
3. Постройте окружность с центром \(O\) и радиусом \(OA\).
4. Проведите перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(AC\). Этот перпендикуляр пересечёт окружность в точке \(D\).
5. Длина отрезка \(BD\) будет равна среднепропорциональному значению двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\).

Согласно теореме о среднепропорциональном, длина \(BD\) удовлетворяет равенству:
\(
BD^2 = AB \cdot BC
\)
Следовательно,
\(
BD = \sqrt{AB \cdot BC}.
\)

Таким образом, отрезок \(BD\) является искомым.

Для нахождения отрезка, равного среднепропорциональному для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\), выполним следующее построение:

1. Построим прямую линию и отметим на ней последовательно два данных отрезка \(AB\) и \(BC\), таким образом, чтобы их концы совпадали, то есть точка \(B\) была общей для обоих отрезков. Получим точки \(A\), \(B\) и \(C\).

2. Найдем середину отрезка \(AC\). Для этого измерим длину отрезка \(AC\) и разделим ее пополам. Отметим точку \(O\), которая является серединой отрезка \(AC\).

3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом, равным длине отрезка \(OA\) (или \(OC\), так как \(O\) — середина отрезка \(AC\), длины \(OA\) и \(OC\) равны).

4. Проведем перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(AC\). Для этого используем угольник или построение с циркулем, чтобы угол между прямой \(AC\) и перпендикуляром был равен \(90^\circ\).

5. Перпендикуляр из точки \(B\) пересечет окружность, построенную ранее, в точке \(D\). Отметим эту точку \(D\).

6. Измерим длину отрезка \(BD\). Этот отрезок является среднепропорциональным для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\).

Обоснование:
Построение основано на свойстве прямоугольного треугольника, вписанного в окружность. Точка \(D\) является вершиной прямоугольного треугольника \(ABD\), где гипотенуза \(AD\) является диаметром окружности. Согласно теореме о среднепропорциональном, длина отрезка \(BD\) удовлетворяет равенству:
\(
BD^2 = AB \cdot BC
\)
Следовательно,
\(
BD = \sqrt{AB \cdot BC}.
\)

Таким образом, отрезок \(BD\) — это искомый среднепропорциональный отрезок для данных \(AB\) и \(BC\).