Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 669 Атанасян — Подробные Ответы
Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
Для нахождения отрезка, равного среднепропорциональному для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\), выполните следующие шаги:
1. Постройте прямую и отметьте на ней последовательно отрезки \(AB\) и \(BC\), чтобы точки \(B\) и \(C\) шли друг за другом.
2. Найдите середину отрезка \(AC\) и обозначьте её точкой \(O\).
3. Постройте окружность с центром \(O\) и радиусом \(OA\).
4. Проведите перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(AC\). Этот перпендикуляр пересечёт окружность в точке \(D\).
5. Длина отрезка \(BD\) будет равна среднепропорциональному значению двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\).
Согласно теореме о среднепропорциональном, длина \(BD\) удовлетворяет равенству:
\[
BD^2 = AB \cdot BC
\]
Следовательно,
\[
BD = \sqrt{AB \cdot BC}.
\]
Таким образом, отрезок \(BD\) является искомым.
Для нахождения отрезка, равного среднепропорциональному для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\), выполним следующее построение:
1. Построим прямую линию и отметим на ней последовательно два данных отрезка \(AB\) и \(BC\), таким образом, чтобы их концы совпадали, то есть точка \(B\) была общей для обоих отрезков. Получим точки \(A\), \(B\) и \(C\).
2. Найдем середину отрезка \(AC\). Для этого измерим длину отрезка \(AC\) и разделим ее пополам. Отметим точку \(O\), которая является серединой отрезка \(AC\).
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом, равным длине отрезка \(OA\) (или \(OC\), так как \(O\) — середина отрезка \(AC\), длины \(OA\) и \(OC\) равны).
4. Проведем перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(AC\). Для этого используем угольник или построение с циркулем, чтобы угол между прямой \(AC\) и перпендикуляром был равен \(90^\circ\).
5. Перпендикуляр из точки \(B\) пересечет окружность, построенную ранее, в точке \(D\). Отметим эту точку \(D\).
6. Измерим длину отрезка \(BD\). Этот отрезок является среднепропорциональным для двух данных отрезков \(AB\) и \(BC\).
Обоснование:
Построение основано на свойстве прямоугольного треугольника, вписанного в окружность. Точка \(D\) является вершиной прямоугольного треугольника \(ABD\), где гипотенуза \(AD\) является диаметром окружности. Согласно теореме о среднепропорциональном, длина отрезка \(BD\) удовлетворяет равенству:
\[
BD^2 = AB \cdot BC
\]
Следовательно,
\[
BD = \sqrt{AB \cdot BC}.
\]
Таким образом, отрезок \(BD\) — это искомый среднепропорциональный отрезок для данных \(AB\) и \(BC\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.