Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 667 Атанасян — Подробные Ответы
Диаметр \( AA_1 \) окружности перпендикулярен к хорде \( BB_1 \) и пересекает её в точке \( C \). Найдите \( BB_1 \), если \( AC = 4 \, \text{см} \), \( CA_1 = 8 \, \text{см} \).
Дано: окружность с центром \(O\), \(AA_1\) — диаметр, \(BB_1\) — хорда, \(AA_1 \perp BB_1\), \(AC = 4 \, \text{см}\), \(CA_1 = 8 \, \text{см}\). Найти \(BB_1\).
Решение:
1) Радиус \(r = AO = OA_1 = 6 \, \text{см}\).
2) \(CO = AO — AC = 6 — 4 = 2 \, \text{см}\).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OCB\):
\[
BC = \sqrt{BO^2 — CO^2} = \sqrt{6^2 — 2^2} = \sqrt{36 — 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{см}.
\]
4) Так как \(BC = CB_1\), то \(BB_1 = BC + CB_1 = 2BC = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}\).
Ответ: \(8\sqrt{2} \, \text{см}\).
Дано: окружность с центром \(O\), \(AA_1\) — диаметр, \(BB_1\) — хорда, причём \(AA_1 \perp BB_1\), точки \(A\), \(C\), \(A_1\) лежат на диаметре, \(AC = 4 \, \text{см}\), \(CA_1 = 8 \, \text{см}\). Найти длину хорды \(BB_1\).
Решение:
1) Так как \(AA_1\) — диаметр, то его длина равна \(AA_1 = AC + CA_1 = 4 + 8 = 12 \, \text{см}\). Радиус окружности равен половине диаметра, то есть
\[
r = \frac{AA_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.
\]
2) Точка \(C\) — середина хорды \(BB_1\), так как \(AA_1 \perp BB_1\). Следовательно, \(OC\) является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике \(\triangle BOB_1\), а также расстоянием от центра окружности до хорды. Вычислим \(CO\):
\[
CO = AO — AC = 6 — 4 = 2 \, \text{см}.
\]
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OCB\), где \(OB = r = 6 \, \text{см}\), \(CO = 2 \, \text{см}\). Найдём \(BC\) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{OB^2 — CO^2} = \sqrt{6^2 — 2^2} = \sqrt{36 — 4} = \sqrt{32}.
\]
Корень из \(32\) можно представить как \(BC = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \, \text{см}\).
4) Так как \(BB_1 = BC + CB_1\), а \(BC = CB_1\) (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике), то
\[
BB_1 = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}.
\]
Ответ: \(8\sqrt{2} \, \text{см}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.