ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 665 Атанасян — Подробные Ответы

Вершины треугольника \( ABC \) лежат на окружности. Докажите, что если \( AB \) — диаметр окружности, то \( \angle C > \angle A \) и \( \angle C > \angle B \).

Дано:
Окружность с диаметром \(AB\), точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности.

Доказательство:
\(\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\) (по теореме о вписанном угле). Треугольник \(\triangle ACB\) прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle A < 90^\circ\) и \(\angle B < 90^\circ\). Так как \(\angle C = 90^\circ\), то \(\angle C > \angle A\) и \(\angle C > \angle B\). Доказано.

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\).
\(AB\) — диаметр окружности, точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности.

Доказать:
\(\angle C > \angle A\), \(\angle C > \angle B\).

Решение:

1. По теореме о вписанном угле:
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен половине дуги, на которую он опирается. Диаметр окружности образует дугу в \(180^\circ\). Следовательно:
\( \angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ. \)
Таким образом, треугольник \(\triangle ACB\) является прямоугольным, где \(\angle ACB = 90^\circ\).

2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\):
\( \angle A + \angle B = 90^\circ. \)
Из этого следует, что каждый из углов \(\angle A\) и \(\angle B\) меньше \(90^\circ\):
\( \angle A < 90^\circ, \quad \angle B < 90^\circ. \)

3. Угол \(\angle C\) в треугольнике равен \(90^\circ\), так как он является прямым. Следовательно:
\( \angle C > \angle A, \quad \angle C > \angle B. \)

Заключение:
Таким образом, доказано, что \(\angle C > \angle A\) и \(\angle C > \angle B\).