Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 664 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \( AM \) — касательная к окружности, \( AB \) — хорда этой окружности. Докажите, что угол \( \angle MAB \) измеряется половиной дуги \( AB \), расположенной внутри угла \( \angle MAB \).
Дано: \(AO = OB = r\), \(\triangle AOB\) — равнобедренный, отсюда \(\angle BAO = \angle ABO\).
Центральный угол \(\angle AOB = 180^\circ — 2\angle BAO\), и по теореме о центральном угле \(\angle AOB = \overset{\frown}{AB}\). Касательная \(AM \perp OA\), поэтому \(\angle MAB = 90^\circ — \angle BAO\). Подставляем: \(\angle AOB = 2(90^\circ — \angle BAO) = 2\angle MAB\). Следовательно, \(\overset{\frown}{AB} = 2\angle MAB\), значит \(\angle MAB = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\).
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\), хорда \(AB\), касательная \(AM\). Требуется доказать, что \(\angle MAB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB}\).
Рассмотрим решение:
1. Радиусы \(AO\) и \(OB\) равны, так как они соединяют центр окружности с точками на окружности (\(AO = OB = r\)). Следовательно, треугольник \(\triangle AOB\) является равнобедренным. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны:
\[
\angle BAO = \angle ABO.
\]
2. Центральный угол \(\angle AOB\) выражается через углы \(\angle BAO\) и \(\angle ABO\):
\[
\angle AOB = 180^\circ — \angle BAO — \angle ABO.
\]
Так как \(\angle BAO = \angle ABO\), то:
\[
\angle AOB = 180^\circ — 2\angle BAO.
\]
3. По теореме о центральном угле, центральный угол \(\angle AOB\) равен градусной мере дуги \(\overset{\frown}{AB}\):
\[
\angle AOB = \overset{\frown}{AB}.
\]
4. Касательная \(AM\) перпендикулярна радиусу \(OA\), проведённому в точку касания \(A\). Следовательно, угол между касательной \(AM\) и хордой \(AB\) выражается как:
\[
\angle MAB = 90^\circ — \angle BAO.
\]
5. Подставим выражение для \(\angle BAO\) из шага 2 в формулу для центрального угла:
\[
\angle AOB = 2(90^\circ — \angle BAO).
\]
Заметим, что \(90^\circ — \angle BAO = \angle MAB\), тогда:
\[
\angle AOB = 2\angle MAB.
\]
6. Так как \(\angle AOB = \overset{\frown}{AB}\), то:
\[
\overset{\frown}{AB} = 2\angle MAB.
\]
7. Отсюда следует, что:
\[
\angle MAB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB}.
\]
Таким образом, утверждение доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.