ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 663 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезок \( AC \) — диаметр окружности, \( AB \) — хорда, \( MA \) — касательная, угол \( \angle MAB \) острый. Докажите, что \( \angle MAB = \angle ACB \).

Дано: окружность \(O; r\), \(AC\) — диаметр, \(AB\) — хорда, \(AM\) — касательная, \(\angle MAB < 90^\circ\). Доказать: \(\angle MAB = \angle ACB\).

Решение:
1. Угол \(\angle ABC\) вписанный, опирается на диаметр, поэтому \(\angle ABC = 90^\circ\).
2. Угол \(\angle BCA\) в прямоугольном треугольнике равен \(\angle BCA = 90^\circ — \angle BAC\).
3. Касательная \(AM\) перпендикулярна диаметру \(AC\), следовательно, \(\angle MAB = 90^\circ — \angle BAC\).
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что \(\angle MAB = \angle ACB\).

Ответ: \(\angle MAB = \angle ACB\).

Дано: окружность \(O; r\), \(AC\) — диаметр, \(AB\) — хорда, \(AM\) — касательная, \(\angle MAB < 90^\circ\). Доказать: \(\angle MAB = \angle ACB\).

Решение:
1. Рассмотрим угол \(\angle ABC\).
Угол \(\angle ABC\) является вписанным и опирается на дугу \(AC\), которая составляет половину окружности. Согласно теореме о вписанном угле:
\(
\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AC}.
\)
Так как дуга \(AC\) равна \(180^\circ\) (диаметр делит окружность на две равные части), то:
\(
\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ.
\)

2. Рассмотрим треугольник \(ABC\).
Треугольник \(ABC\) является прямоугольным, так как \(\angle ABC = 90^\circ\). Угол \(\angle BCA\) в прямоугольном треугольнике можно выразить через угол \(\angle BAC\):
\(
\angle BCA = 90^\circ — \angle BAC.
\)

3. Рассмотрим касательную \(AM\).
По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Так как \(AC\) — диаметр, то радиус \(OA\) совпадает с диаметром \(AC\). Следовательно, касательная \(AM\) перпендикулярна диаметру \(AC\), и угол \(\angle MAB\) можно выразить как:
\(
\angle MAB = 90^\circ — \angle BAC.
\)

4. Сравним выражения для углов \(\angle BCA\) и \(\angle MAB\).
Из пунктов 2 и 3 видно, что:
\(
\angle BCA = 90^\circ — \angle BAC,
\)
\(
\angle MAB = 90^\circ — \angle BAC.
\)
Следовательно:
\(
\angle MAB = \angle BCA.
\)

Таким образом, доказано, что \(\angle MAB = \angle ACB\).