ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 662 Атанасян — Подробные Ответы

Хорды \( AB \) и \( CD \) окружности пересекаются в точке \( E \). Найдите угол \( \angle BEC \), если \( \angle CAD = 54^\circ \), \( \angle BC = 70^\circ \).

Дано:
Окр(О, r);
AB, CD — хорды;
AB ∩ CD = E;
\(\overset{\frown}{AD} = 54^\circ\), \(\overset{\frown}{BC} = 70^\circ\).
Найти: \(\angle BEC\).

Решение:

1) Угол \(\angle BAC\) опирается на дугу \(\overset{\frown}{BC}\):
\(
\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ.
\)

2) Угол \(\angle DCA\) опирается на дугу \(\overset{\frown}{AD}\):
\(
\angle DCA = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AD} = \frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ.
\)

3) Угол \(\angle AEC\) находится как внутренний угол треугольника:
\(
\angle AEC = 180^\circ — \angle BAC — \angle DCA = 180^\circ — 35^\circ — 27^\circ = 118^\circ.
\)

4) Углы \(\angle BEC\) и \(\angle AEC\) смежные:
\(
\angle BEC = 180^\circ — \angle AEC = 180^\circ — 118^\circ = 62^\circ.
\)

Ответ: \(\angle BEC = 62^\circ\).

Дано:
Окр(О, r);
AB, CD — хорды;
AB ∩ CD = E;
\(\overset{\frown}{AD} = 54^\circ\), \(\overset{\frown}{BC} = 70^\circ\).
Найти: \(\angle BEC\).

Решение:

1. Рассмотрим угол \(\angle BAC\), который является вписанным и опирается на дугу \(\overset{\frown}{BC}\). Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:
\(
\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BC}.
\)
Подставим значение дуги \(\overset{\frown}{BC} = 70^\circ\):
\(
\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ.
\)

2. Рассмотрим угол \(\angle DCA\), который также является вписанным и опирается на дугу \(\overset{\frown}{AD}\). По той же теореме:
\(
\angle DCA = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AD}.
\)
Подставим значение дуги \(\overset{\frown}{AD} = 54^\circ\):
\(
\angle DCA = \frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ.
\)

3. Угол \(\angle AEC\) является внутренним углом треугольника \(AEC\). Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
\(
\angle AEC = 180^\circ — \angle BAC — \angle DCA.
\)
Подставим найденные значения углов \(\angle BAC = 35^\circ\) и \(\angle DCA = 27^\circ\):
\(
\angle AEC = 180^\circ — 35^\circ — 27^\circ = 118^\circ.
\)

4. Углы \(\angle BEC\) и \(\angle AEC\) являются смежными, то есть их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно, угол \(\angle BEC\) можно найти как:
\(
\angle BEC = 180^\circ — \angle AEC.
\)
Подставим значение \(\angle AEC = 118^\circ\):
\(
\angle BEC = 180^\circ — 118^\circ = 62^\circ.
\)

Ответ:
\(\angle BEC = 62^\circ\).