ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 661 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны \( 140^\circ \) и \( 52^\circ \).

Дано: \(\overset{\frown}{CE} = 140^\circ\), \(\overset{\frown}{BD} = 52^\circ\). Найти: \(\angle CAE\).

Решение:
1. По теореме о вписанном угле:
\(
\angle CBE = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{CE} = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ.
\)
2. Смежный угол:
\(
\angle ABE = 180^\circ — \angle CBE = 180^\circ — 70^\circ = 110^\circ.
\)
3. По теореме о вписанном угле:
\(
\angle BED = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 52^\circ = 26^\circ.
\)
4. Сумма углов треугольника:
\(
\angle CAE = 180^\circ — \angle ABE — \angle BED = 180^\circ — 110^\circ — 26^\circ = 44^\circ.
\)

Ответ: \(\angle CAE = 44^\circ\).

Дано:
Окружность с центром \(O\), секущие \(AC\) и \(AE\).
Дуги окружности: \(\overset{\frown}{CE} = 140^\circ\), \(\overset{\frown}{BD} = 52^\circ\).
Найти: угол \(\angle CAE\).

Решение:

1. Согласно теореме о вписанном угле, вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Найдем угол \(\angle CBE\):
\(
\angle CBE = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{CE} = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ.
\)

2. Угол \(\angle ABE\) является смежным с углом \(\angle CBE\), поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Найдем \(\angle ABE\):
\(
\angle ABE = 180^\circ — \angle CBE = 180^\circ — 70^\circ = 110^\circ.
\)

3. Угол \(\angle BED\) также является вписанным и опирается на дугу \(\overset{\frown}{BD}\). Используя теорему о вписанном угле, найдем \(\angle BED\):
\(
\angle BED = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 52^\circ = 26^\circ.
\)

4. Теперь используем теорему о сумме углов треугольника \(ABE\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Найдем угол \(\angle CAE\):
\(
\angle CAE = 180^\circ — \angle ABE — \angle BED = 180^\circ — 110^\circ — 26^\circ = 44^\circ.
\)

Ответ:
\(\angle CAE = 44^\circ\).