ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 660 Атанасян — Подробные Ответы

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в \( 32^\circ \). Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна \( 100^\circ \). Найдите меньшую дугу.

Дано:
\(\angle CAE = 32^\circ\), \(\overset{\frown}{CE} = 100^\circ\).

Найти: \(\overset{\frown}{BD}\).

Решение:

1. \(\angle CBE = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{CE} = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ\).
2. \(\angle ABE = 180^\circ — 50^\circ = 130^\circ\).
3. \(\angle BEA = 180^\circ — 130^\circ — 32^\circ = 18^\circ\).
4. \(\overset{\frown}{BD} = 2 \cdot \angle BEA = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\).

Ответ: \(\overset{\frown}{BD} = 36^\circ\).

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\). Прямые \(AC\) и \(AE\) являются секущими. Угол \(\angle CAE = 32^\circ\), дуга \(\overset{\frown}{CE} = 100^\circ\).

Необходимо найти дугу \(\overset{\frown}{BD}\).

Решение:

1. Согласно теореме о вписанном угле, вписанный угол измеряется как половина величины дуги, на которую он опирается. Таким образом:
\(
\angle CBE = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{CE} = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ.
\)

2. Угол \(\angle ABE\) является смежным с углом \(\angle CBE\), поэтому его величина равна:
\(
\angle ABE = 180^\circ — \angle CBE = 180^\circ — 50^\circ = 130^\circ.
\)

3. Рассмотрим треугольник \(ABE\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно, угол \(\angle BEA\) можно найти как:
\(
\angle BEA = 180^\circ — \angle ABE — \angle CAE = 180^\circ — 130^\circ — 32^\circ = 18^\circ.
\)

4. Дуга \(\overset{\frown}{BD}\) опирается на вписанный угол \(\angle BEA\). Согласно теореме о вписанном угле, величина дуги равна удвоенной величине вписанного угла:
\(
\overset{\frown}{BD} = 2 \cdot \angle BEA = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ.
\)

Ответ:
\(
\overset{\frown}{BD} = 36^\circ.
\)