ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 659 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Дано: \(AB \parallel CD\).

Так как \(AB \parallel CD\), углы \(\angle ADC\) и \(\angle DAB\) являются накрест лежащими, следовательно, \(\angle ADC = \angle DAB\).

Угол \(\angle ADC\) вписанный, поэтому дуга \(\overset{\frown}{AC}\) равна удвоенному значению угла:
\(
\overset{\frown}{AC} = 2 \cdot \angle ADC.
\)

Угол \(\angle DAB\) также вписанный, поэтому дуга \(\overset{\frown}{DB}\) равна удвоенному значению угла:
\(
\overset{\frown}{DB} = 2 \cdot \angle DAB.
\)

Так как \(\angle ADC = \angle DAB\), то \(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DB}\).

Доказано.

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\).
\(AB\) и \(CD\) — хорды, причём \(AB \parallel CD\).

Требуется доказать, что
\(
\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DB}.
\)

Решение:

1) \(AB \parallel CD\) (по условию).
Так как хорды \(AB\) и \(CD\) параллельны, то углы \(\angle ADC\) и \(\angle DAB\) являются накрест лежащими. По свойству накрест лежащих углов, они равны:
\(
\angle ADC = \angle DAB.
\)

2) Угол \(\angle ADC\) вписанный.
По свойству вписанного угла, он измеряет половину дуги, на которую опирается. Следовательно, дуга \(\overset{\frown}{AC}\) выражается как:
\(
\overset{\frown}{AC} = 2 \cdot \angle ADC.
\)

3) Угол \(\angle DAB\) также вписанный.
По аналогичному свойству вписанного угла, он измеряет половину дуги, на которую опирается. Следовательно, дуга \(\overset{\frown}{DB}\) выражается как:
\(
\overset{\frown}{DB} = 2 \cdot \angle DAB.
\)

4) Так как из пункта (1) известно, что \(\angle ADC = \angle DAB\), подставляем это равенство в выражения для дуг:
\(
\overset{\frown}{AC} = 2 \cdot \angle ADC = 2 \cdot \angle DAB = \overset{\frown}{DB}.
\)

Вывод:
\(
\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DB}.
\)

Таким образом, доказано, что дуги \(\overset{\frown}{AC}\) и \(\overset{\frown}{DB}\) равны.