ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 656 Атанасян — Подробные Ответы

Хорда \( AB \) стягивает дугу, равную \( 115^\circ \), а хорда \( AC \) — дугу в \( 43^\circ \). Найдите угол \( \angle BAC \).

Дано:
Окружность \(O, R\);
\(\angle AB = 115^\circ\);
\(\angle AC = 43^\circ\).

Найти: \(\angle CAB\).

Решение:
Точка \(C\) может находиться на малой или большой дуге \(AB\).

1. Если точка \(C\) на большой дуге:
\[
\angle BC = 360^\circ — 115^\circ — 43^\circ = 202^\circ,
\]
\[
\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 202^\circ = 101^\circ.
\]

2. Если точка \(C\) на малой дуге:
\[
\angle BC = 115^\circ — 43^\circ = 72^\circ,
\]
\[
\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ.
\]

Ответ:
а) \(\angle CAB = 101^\circ\);
б) \(\angle CAB = 36^\circ\).

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\);
Дуга \(AB = 115^\circ\);
Дуга \(AC = 43^\circ\).

Найти: угол \(\angle CAB\).

Решение:
Согласно условию, точка \(C\) может находиться либо на малой дуге \(AB\), либо на большой дуге \(AB\). Рассмотрим оба случая.

1. Если точка \(C\) находится на **большой дуге \(AB\)**:
Сначала найдем величину дуги \(BC\). Для этого из полного угла \(360^\circ\) вычтем дуги \(AB\) и \(AC\):
\[
\angle BC = 360^\circ — \angle AB — \angle AC = 360^\circ — 115^\circ — 43^\circ = 202^\circ.
\]
По теореме о вписанном угле, вписанный угол измеряется как половина соответствующей дуги, то есть:
\[
\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot \angle BC = \frac{1}{2} \cdot 202^\circ = 101^\circ.
\]

2. Если точка \(C\) находится на **малой дуге \(AB\)**:
В этом случае дуга \(BC\) определяется как разность дуг \(AB\) и \(AC\):
\[
\angle BC = \angle AB — \angle AC = 115^\circ — 43^\circ = 72^\circ.
\]
По теореме о вписанном угле:
\[
\angle CAB = \frac{1}{2} \cdot \angle BC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ.
\]

Ответ:
а) Если точка \(C\) на большой дуге \(AB\), то \(\angle CAB = 101^\circ\);
б) Если точка \(C\) на малой дуге \(AB\), то \(\angle CAB = 36^\circ\).