ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 655 Атанасян — Подробные Ответы

Центральный угол \( \angle AOB \) на \( 30^\circ \) больше вписанного угла, опирающегося на дугу \( AB \). Найдите каждый из этих углов.

Пусть \(\angle ACB = x\), тогда \(\angle AOB = x + 30^\circ\).

По теореме о вписанном угле:
\(
\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB.
\)
Подставим:
\(
x = \frac{1}{2} (x + 30^\circ).
\)
Раскроем скобки:
\(
x = \frac{1}{2} x + 15^\circ.
\)
Переносим \(\frac{1}{2} x\) влево:
\(
x — \frac{1}{2} x = 15^\circ.
\)
Приводим подобные:
\(
\frac{1}{2} x = 15^\circ.
\)
Умножим на 2:
\(
x = 30^\circ.
\)
Значит, \(\angle ACB = 30^\circ\), а \(\angle AOB = x + 30^\circ = 60^\circ\).

Ответ: \(\angle ACB = 30^\circ\), \(\angle AOB = 60^\circ\).

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\).
\(\angle AOB = \angle ACB + 30^\circ\).

Найти:
\(\angle AOB\), \(\angle ACB\).

Решение:

1. Пусть \(\angle ACB = x\). Тогда из условия задачи:
\(
\angle AOB = x + 30^\circ.
\)

2. По теореме о вписанном угле:
\(
\angle AOB = 2 \angle AB.
\)
Поскольку \(\angle ACB\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу \(AB\), то:
\(
\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB.
\)

3. Подставим значение \(\angle AOB\) из условия задачи:
\(
\angle ACB = \frac{1}{2} (x + 30^\circ).
\)

4. Приравняем углы, так как \(\angle ACB = x\):
\(
x = \frac{1}{2} (x + 30^\circ).
\)

5. Раскроем скобки:
\(
x = \frac{1}{2} x + 15^\circ.
\)

6. Перенесем \(\frac{1}{2} x\) влево:
\(
x — \frac{1}{2} x = 15^\circ.
\)

7. Приведем подобные:
\(
\frac{1}{2} x = 15^\circ.
\)

8. Умножим обе части на 2:
\(
x = 30^\circ.
\)

9. Найдем \(\angle AOB\):
\(
\angle AOB = x + 30^\circ = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.
\)

Ответ:
\(\angle ACB = 30^\circ\), \(\angle AOB = 60^\circ\).