ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 652 Атанасян — Подробные Ответы

На полуокружности \( AB \) взяты точки \( C \) и \( D \) так, что \( \angle AC = 37^\circ \), \( \angle BD = 23^\circ \). Найдите хорду \( CD \), если радиус окружности равен \( 15 \, \text{см} \).

Дано: \(R = 15 \, \text{см}\), \(\angle AC = 37^\circ\), \(\angle BD = 23^\circ\).

Решение:
\(
\angle CD = 180^\circ — \angle AC — \angle BD = 180^\circ — 37^\circ — 23^\circ = 120^\circ.
\)
Рассмотрим \(\triangle COD\), он равнобедренный (\(OD = CO = R\)), высота \(OE\) делит угол \(\angle COD\) пополам:
\(
\angle EOD = \frac{\angle COD}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.
\)
По свойству высоты равнобедренного треугольника \(CE = ED\). Используем формулу синуса:
\(
\sin \angle EOD = \frac{ED}{OD}.
\)
Отсюда:
\(
ED = OD \cdot \sin \angle EOD = 15 \cdot \sin 60^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}.
\)
Находим \(CD\):
\(
CD = 2 \cdot ED = 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}.
\)

Ответ: \(CD = 15\sqrt{3} \, \text{см}\).

Дано:
Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R = 15 \, \text{см}\).
Углы: \(\angle AC = 37^\circ\), \(\angle BD = 23^\circ\).

Найти: длину хорды \(CD\).

Решение:
1. \(AB\) — полуокружность, поэтому угол \(\angle AB = 180^\circ\).
Угол \(\angle CD\) можно найти из соотношения:
\(
\angle CD = \angle AB — \angle AC — \angle BD.
\)
Подставим значения:
\(
\angle CD = 180^\circ — 37^\circ — 23^\circ = 120^\circ.
\)

2. Построим высоту \(OE\), которая перпендикулярна хорде \(CD\). Высота \(OE\) делит хорду \(CD\) на две равные части (\(CE = ED\)) и угол \(\angle COD\) пополам.

3. Рассмотрим треугольник \(\triangle COD\). Он равнобедренный, так как \(OD = CO = R = 15 \, \text{см}\). Высота \(OE\) делит угол \(\angle COD\) пополам:
\(
\angle COD = \angle CD = 120^\circ, \quad \angle EOD = \frac{\angle COD}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.
\)

4. Применим тригонометрическую формулу для нахождения \(ED\):
\(
\sin \angle EOD = \frac{ED}{OD}.
\)
Отсюда:
\(
ED = OD \cdot \sin \angle EOD.
\)
Подставим значения:
\(
ED = 15 \cdot \sin 60^\circ.
\)
Значение \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\(
ED = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}.
\)

5. Найдем длину хорды \(CD\):
\(
CD = 2 \cdot ED = 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}.
\)

6. Если необходимо представить результат в десятичной форме, воспользуемся приближенным значением \(\sqrt{3} \approx 1,732\):
\(
CD \approx 15 \cdot 1,732 = 25,98 \, \text{см}.
\)

Ответ:
Точная длина хорды \(CD = 15\sqrt{3} \, \text{см}\).
Приближенная длина \(CD \approx 25,98 \, \text{см}\).