Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 651 Атанасян — Подробные Ответы
Хорды \( AB \) и \( CD \) окружности с центром \( O \) равны.
а) Докажите, что две дуги с концами \( A \) и \( B \) соответственно равны двум дугам с концами \( C \) и \( D \).
б) Найдите дуги с концами \( C \) и \( D \), если \( \angle AOB = 112^\circ \).
Дано: \(AB = CD\), \(\angle AOB = 112^\circ\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\):
\(BO = AO = OC = OD = r\), \(AB = CD\).
По трём сторонам треугольники равны, значит \(\angle BOA = \angle COD\).
\(\angle BOA = \overset{\frown}{AB}\), \(\angle COD = \overset{\frown}{CD}\),
следовательно, \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} = 112^\circ\).
Угол \(\angle CBD = 360^\circ — 112^\circ = 248^\circ\).
Ответ: \(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\), \(\angle CBD = 248^\circ\).
Дано: окружность с центром \(O\), радиус \(R\);
\(AB = CD\);
\(\angle AOB = 112^\circ\).
Необходимо доказать, что \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}\), и найти \(\overset{\frown}{CD}\), \(\angle CBD\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\):
\(BO = AO = OC = OD = R\) (радиусы окружности), \(AB = CD\) (по условию).
По трём сторонам треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\) равны, следовательно, их углы равны:
\(
\angle BOA = \angle COD.
\)
Центральный угол \(\angle BOA\) соответствует дуге \(\overset{\frown}{AB}\), а центральный угол \(\angle COD\) соответствует дуге \(\overset{\frown}{CD}\).
Так как \(\angle BOA = \angle COD\), то
\(
\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}.
\)
Из условия дано, что \(\angle AOB = 112^\circ\). Так как \(\angle BOA = \angle COD\), то
\(
\overset{\frown}{CD} = \angle COD = 112^\circ.
\)
Теперь найдём угол \(\angle CBD\). Угол \(\angle CBD\) является внешним углом для дуги \(\overset{\frown}{CD}\), то есть
\(
\angle CBD = 360^\circ — \overset{\frown}{CD}.
\)
Подставляем значение \(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\):
\(
\angle CBD = 360^\circ — 112^\circ = 248^\circ.
\)
Ответ:
\(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\), \(\angle CBD = 248^\circ\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.