Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 651 Атанасян — Подробные Ответы
Хорды \( AB \) и \( CD \) окружности с центром \( O \) равны.
а) Докажите, что две дуги с концами \( A \) и \( B \) соответственно равны двум дугам с концами \( C \) и \( D \).
б) Найдите дуги с концами \( C \) и \( D \), если \( \angle AOB = 112^\circ \).
Дано: \(AB = CD\), \(\angle AOB = 112^\circ\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\):
\(BO = AO = OC = OD = r\), \(AB = CD\).
По трём сторонам треугольники равны, значит \(\angle BOA = \angle COD\).
\(\angle BOA = \overset{\frown}{AB}\), \(\angle COD = \overset{\frown}{CD}\),
следовательно, \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} = 112^\circ\).
Угол \(\angle CBD = 360^\circ — 112^\circ = 248^\circ\).
Ответ: \(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\), \(\angle CBD = 248^\circ\).
Дано: окружность с центром \(O\), радиус \(R\);
\(AB = CD\);
\(\angle AOB = 112^\circ\).
Необходимо доказать, что \(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}\), и найти \(\overset{\frown}{CD}\), \(\angle CBD\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\):
\(BO = AO = OC = OD = R\) (радиусы окружности), \(AB = CD\) (по условию).
По трём сторонам треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle OCD\) равны, следовательно, их углы равны:
\[
\angle BOA = \angle COD.
\]
Центральный угол \(\angle BOA\) соответствует дуге \(\overset{\frown}{AB}\), а центральный угол \(\angle COD\) соответствует дуге \(\overset{\frown}{CD}\).
Так как \(\angle BOA = \angle COD\), то
\[
\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}.
\]
Из условия дано, что \(\angle AOB = 112^\circ\). Так как \(\angle BOA = \angle COD\), то
\[
\overset{\frown}{CD} = \angle COD = 112^\circ.
\]
Теперь найдём угол \(\angle CBD\). Угол \(\angle CBD\) является внешним углом для дуги \(\overset{\frown}{CD}\), то есть
\[
\angle CBD = 360^\circ — \overset{\frown}{CD}.
\]
Подставляем значение \(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\):
\[
\angle CBD = 360^\circ — 112^\circ = 248^\circ.
\]
Ответ:
\(\overset{\frown}{CD} = 112^\circ\), \(\angle CBD = 248^\circ\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.