ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 647 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезок \( AH \) — перпендикуляр, проведённый из точки \( A \) к прямой, проходящей через центр \( O \) окружности радиуса \( 3 \, \text{см} \). Является ли прямая \( AH \) касательной к окружности, если:  

а) \( OA = 5 \, \text{см}, \, AH = 4 \, \text{см} \);  

б) \( \angle HAO = 45^\circ, \, OA = 4 \, \text{см} \);  

в) \( \angle HAO = 30^\circ, \, OA = 6 \, \text{см} \)?

а) Треугольник \(\triangle AOH\) прямоугольный. По теореме Пифагора:
\[
OH^2 = OA^2 — AH^2 = 25 — 16 = 9, \quad OH = 3 \, \text{см}.
\]
Так как \(OH = r = 3 \, \text{см}\) и \(OH \perp AH\), то \(AH\) является касательной.

б) \(\angle HOA = 45^\circ\), \(\angle OAH = 45^\circ\), значит \(\triangle AOH\) равнобедренный, \(AH = OH\). По теореме Пифагора:
\[
OH^2 = OA^2 — AH^2 \Rightarrow 2OH^2 = OA^2.
\]
\[
2OH^2 = 16 \Rightarrow OH^2 = 8, \quad OH = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \, \text{см}.
\]
Так как \(OH \neq r\), \(AH\) не является касательной.

в) Треугольник \(\triangle AOH\) прямоугольный, \(\angle HOA = 30^\circ\):
\[
OH = \frac{1}{2}OA = 3 \, \text{см}.
\]
Так как \(OH = r = 3 \, \text{см}\) и \(OH \perp AH\), то \(AH\) является касательной.

Ответ:
а) да;
б) нет;
в) да.

а) Рассмотрим треугольник \(\triangle AOH\), который является прямоугольным (\(AH \perp OH\)). Согласно теореме Пифагора:
\[
OH^2 = OA^2 — AH^2.
\]
Подставим значения:
\[
OH^2 = 5^2 — 4^2 = 25 — 16 = 9.
\]
Найдем \(OH\):
\[
OH = \sqrt{9} = 3 \, \text{см}.
\]
Поскольку \(OH = r = 3 \, \text{см}\) и \(OH \perp AH\), то \(AH\) является касательной к окружности.

б) Угол \(\angle HOA = 45^\circ\). Так как \(AH \perp OH\), то треугольник \(\triangle AOH\) прямоугольный, а угол \(\angle OAH = 90^\circ — \angle HOA = 45^\circ\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOH\) равнобедренный (\(\angle HOA = \angle OAH\)), из чего следует, что \(AH = OH\).
Согласно теореме Пифагора:
\[
OH^2 = OA^2 — AH^2.
\]
Подставим \(AH = OH\) и преобразуем:
\[
OH^2 = OA^2 — OH^2 \Rightarrow 2OH^2 = OA^2.
\]
Подставим значение \(OA = 4 \, \text{см}\):
\[
2OH^2 = 4^2 = 16 \Rightarrow OH^2 = \frac{16}{2} = 8.
\]
Найдем \(OH\):
\[
OH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \, \text{см}.
\]
Поскольку \(OH \neq r = 3 \, \text{см}\), то \(AH\) не является касательной.

в) Угол \(\angle HOA = 30^\circ\). Треугольник \(\triangle AOH\) прямоугольный (\(AH \perp OH\)). В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий напротив этого угла (\(OH\)), равен половине гипотенузы (\(OA\)). Таким образом:
\[
OH = \frac{1}{2}OA.
\]
Подставим значение \(OA = 6 \, \text{см}\):
\[
OH = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \, \text{см}.
\]
Поскольку \(OH = r = 3 \, \text{см}\) и \(OH \perp AH\), то \(AH\) является касательной к окружности.

Ответ:
а) да;
б) нет;
в) да.