Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 645 Атанасян — Подробные Ответы
Из концов диаметра \( AB \) данной окружности проведены перпендикуляры \( AA_1 \) и \( BB_1 \) к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру \( AB \). Докажите, что точка касания является серединой отрезка \( A_1B_1 \).
Дано: окружность \((O, R)\), \(AB = 2R\), \(C \in l\) — касательная, \(AA_1 \perp l\), \(BB_1 \perp l\).
Доказательство:
\(AA_1 \parallel BB_1\) (по свойству параллельных прямых), следовательно, \(ABCD\) — прямоугольная трапеция.
\(OC \perp l\), \(OA = OB\), \(\triangle OAB\) равнобедренный.
По теореме Фалеса \(OC\) — средняя линия трапеции, отсюда \(A_1C = CB_1\).
Дано: окружность \((O, R)\), \(AB = 2R\), \(C \in l\) — касательная, \(AA_1 \perp l\), \(BB_1 \perp l\).
Доказательство:
1. Так как \(AA_1 \perp l\) и \(BB_1 \perp l\), то прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны (\(AA_1 \parallel BB_1\)) по свойству параллельных прямых. Следовательно, четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольной трапецией, так как одна пара противоположных сторон трапеции (\(AA_1\) и \(BB_1\)) параллельна, а другая (\(AB\) и \(CD\)) перпендикулярна линии \(l\).
2. Точка \(C\) лежит на касательной \(l\), которая перпендикулярна радиусу \(OC\). Следовательно, \(OC \perp l\). Кроме того, \(OA = OB\), так как точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности и равны по расстоянию до центра \(O\). Таким образом, \(\triangle OAB\) является равнобедренным.
3. Поскольку \(OC \perp l\), а также \(AA_1 \parallel OC \parallel BB_1\), то \(OC\) является средней линией трапеции \(ABCD\). По свойству средней линии трапеции она делит трапецию на два равных участка, то есть \(A_1C = CB_1\).
Таким образом, доказано, что \(A_1C = CB_1\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.