ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 645 Атанасян — Подробные Ответы

Из концов диаметра \( AB \) данной окружности проведены перпендикуляры \( AA_1 \) и \( BB_1 \) к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру \( AB \). Докажите, что точка касания является серединой отрезка \( A_1B_1 \).

Дано: окружность \((O, R)\), \(AB = 2R\), \(C \in l\) — касательная, \(AA_1 \perp l\), \(BB_1 \perp l\).

Доказательство:
\(AA_1 \parallel BB_1\) (по свойству параллельных прямых), следовательно, \(ABCD\) — прямоугольная трапеция.

\(OC \perp l\), \(OA = OB\), \(\triangle OAB\) равнобедренный.

По теореме Фалеса \(OC\) — средняя линия трапеции, отсюда \(A_1C = CB_1\).

Дано: окружность \((O, R)\), \(AB = 2R\), \(C \in l\) — касательная, \(AA_1 \perp l\), \(BB_1 \perp l\).

Доказательство:
1. Так как \(AA_1 \perp l\) и \(BB_1 \perp l\), то прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны (\(AA_1 \parallel BB_1\)) по свойству параллельных прямых. Следовательно, четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольной трапецией, так как одна пара противоположных сторон трапеции (\(AA_1\) и \(BB_1\)) параллельна, а другая (\(AB\) и \(CD\)) перпендикулярна линии \(l\).

2. Точка \(C\) лежит на касательной \(l\), которая перпендикулярна радиусу \(OC\). Следовательно, \(OC \perp l\). Кроме того, \(OA = OB\), так как точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности и равны по расстоянию до центра \(O\). Таким образом, \(\triangle OAB\) является равнобедренным.

3. Поскольку \(OC \perp l\), а также \(AA_1 \parallel OC \parallel BB_1\), то \(OC\) является средней линией трапеции \(ABCD\). По свойству средней линии трапеции она делит трапецию на два равных участка, то есть \(A_1C = CB_1\).

Таким образом, доказано, что \(A_1C = CB_1\).