Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 644 Атанасян — Подробные Ответы
Прямые \( MA \) и \( MB \) касаются окружности с центром \( O \) в точках \( A \) и \( B \). Точка \( C \) симметрична точке \( O \) относительно точки \( B \). Докажите, что \( \angle AMC = 2 \angle BMC \).
Дано: окружность \(O, R\); \(BM\) и \(AM\) — касательные; \(OB = BC\).
Докажем, что \(\angle AMC = 3 \angle BMC\).
Рассмотрим \(\triangle OMB\) и \(\triangle CMB\), они прямоугольные, так как \(BM\) — общая сторона и \(OB = BC\) (по условию). Следовательно, \(\triangle OMB = \triangle CMB\) (по двум катетам), отсюда \(\angle OMB = \angle CMB\).
По свойству катетов \(\angle BMO = \angle AMO\).
Запишем \(\angle AMC\) через сумму углов:
\[
\angle AMC = \angle AMO + \angle BMC + \angle OMB.
\]
Так как \(\angle OMB = \angle CMB = \angle AMO\), то
\[
\angle AMC = 3 \angle BMC.
\]
Что и требовалось доказать.
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\); \(BM\) и \(AM\) — касательные к окружности; \(OB = BC\).
Требуется доказать, что \(\angle AMC = 3 \angle BMC\).
Рассмотрим решение:
1. Треугольники \(\triangle OMB\) и \(\triangle CMB\) являются прямоугольными, так как \(BM\) — общая сторона, а \(OB = BC\) (по условию).
Следовательно, треугольники \(\triangle OMB\) и \(\triangle CMB\) равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что \(\angle OMB = \angle CMB\).
2. Углы \(\angle BMO\) и \(\angle AMO\) равны, так как они опираются на радиусы окружности, проведённые к точкам касания \(B\) и \(A\).
3. Угол \(\angle AMC\) можно выразить как сумму углов:
\[
\angle AMC = \angle AMO + \angle BMC + \angle OMB.
\]
4. Из равенства треугольников \(\triangle OMB\) и \(\triangle CMB\) следует, что \(\angle OMB = \angle CMB = \angle AMO\).
Поэтому угол \(\angle AMC\) можно записать как:
\[
\angle AMC = \angle AMO + \angle AMO + \angle AMO.
\]
5. Таким образом, \(\angle AMC = 3 \angle AMO\). А так как \(\angle AMO = \angle BMC\), то:
\[
\angle AMC = 3 \angle BMC.
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.