Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 643 Атанасян — Подробные Ответы
Прямые \( AB \) и \( AC \) касаются окружности с центром \( O \) в точках \( B \) и \( C \). Найдите \( BC \), если \( \angle OAB = 30^\circ, \, AB = 5 \, \text{см} \).
Дано: \(AB = 5\), \(\angle OAB = 30^\circ\). Найти \(BC\).
1. \(\triangle AOB\) прямоугольный, так как \(OB \perp AB\).
2. Пусть \(BO = x\), тогда \(AO = 2x\). По теореме Пифагора:
\[
AO^2 = AB^2 + OB^2.
\]
Подставим:
\[
(2x)^2 = x^2 + 25.
\]
Раскроем скобки:
\[
4x^2 = x^2 + 25.
\]
Упростим:
\[
3x^2 = 25.
\]
Найдём \(x^2\):
\[
x^2 = \frac{25}{3}.
\]
Извлечём корень:
\[
x = BO = \frac{5\sqrt{3}}{3}.
\]
3. В треугольнике \(BOE\):
\[
BE = BO \cdot \cos \angle B = \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2}.
\]
4. \(BC = 2BE = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5\).
Ответ: \(BC = 5\).
Дано: \(AB = 5\), \(\angle OAB = 30^\circ\). Найти \(BC\).
Решение:
1. Треугольник \(AOB\) прямоугольный, так как \(OB \perp AB\) (по свойству касательной). Следовательно, \(\angle OAB = 30^\circ\), а \(\angle ABO = 90^\circ\).
2. Пусть \(BO = x\), тогда \(AO = 2x\) (по свойству прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\): гипотенуза равна удвоенной длине катета, лежащего напротив угла \(30^\circ\)).
3. Применим теорему Пифагора для треугольника \(AOB\):
\[
AO^2 = AB^2 + OB^2.
\]
Подставим значения:
\[
(2x)^2 = x^2 + 25.
\]
Раскроем скобки:
\[
4x^2 = x^2 + 25.
\]
Упростим уравнение:
\[
3x^2 = 25.
\]
Найдём \(x^2\):
\[
x^2 = \frac{25}{3}.
\]
Извлечём квадратный корень:
\[
x = BO = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.
\]
4. Рассмотрим треугольник \(BOE\), где \(BE\) — проекция \(BO\) на горизонтальную ось. Угол \(\angle BOE = 30^\circ\), так как \(\angle BAC = 60^\circ\) (по свойству углов между касательными) и \(\angle BOA = 90^\circ\). Используем формулу для нахождения проекции:
\[
BE = BO \cdot \cos \angle BOE.
\]
Подставим значения:
\[
BE = \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 30^\circ.
\]
Значение \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
BE = \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{5}{2}.
\]
5. Расстояние \(BC\) состоит из двух отрезков \(BE\) и \(EC\), которые равны между собой, так как треугольник \(BOE\) симметричен относительно вертикальной оси. Следовательно:
\[
BC = 2BE.
\]
Подставим значение \(BE\):
\[
BC = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5.
\]
Ответ: \(BC = 5\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.