Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 642 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 213 \( OB = 3 \, \text{см}, \, OA = 6 \, \text{см} \). Найдите \( AB \), \( AC \), \( \angle 23 \) и \( \angle 24 \).
Дано: окружность с центром \(O\), радиусом \(R = 3 \, \text{см}\); \(OA = 6 \, \text{см}\); \(AB\) и \(AC\) — касательные.
Найти: \(AB\), \(AC\); углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\).
Решение:
1. Треугольник \(AOB\) прямоугольный, так как \(OB \perp AB\).
2. По теореме Пифагора:
\[
AB^2 = OA^2 — OB^2 = 36 — 9 = 27, \quad AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{см}.
\]
3. Найдем угол \(\angle 3\):
\[
\sin \angle 3 = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \angle 3 = 30^\circ.
\]
4. Треугольники \(AOB\) и \(AOC\) равны, так как \(AO\) — общая сторона, \(OB = OC = R\).
Следовательно:
\[
AB = AC = 3\sqrt{3} \, \text{см}, \quad \angle 3 = \angle 4 = 30^\circ.
\]
Ответ:
\(AB = AC = 3\sqrt{3} \, \text{см}, \quad \angle 3 = \angle 4 = 30^\circ.\)
Дано: окружность с центром \(O\), радиусом \(R = 3 \, \text{см}\); \(OA = 6 \, \text{см}\); \(AB\) и \(AC\) — касательные.
Найти: длины \(AB\) и \(AC\); углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он является прямоугольным, так как касательная \(AB\) перпендикулярна радиусу \(OB\) в точке касания.
2. Применим теорему Пифагора для треугольника \(AOB\):
\[
AB^2 = OA^2 — OB^2,
\]
где \(OA = 6 \, \text{см}\), \(OB = R = 3 \, \text{см}\). Подставим значения:
\[
AB^2 = 6^2 — 3^2 = 36 — 9 = 27.
\]
Извлечем корень:
\[
AB = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \, \text{см}.
\]
3. Найдем угол \(\angle 3\) в треугольнике \(AOB\). Используем тригонометрическое отношение синуса:
\[
\sin \angle 3 = \frac{OB}{OA}.
\]
Подставим значения:
\[
\sin \angle 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.
\]
Угол, синус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен \(30^\circ\). Таким образом:
\[
\angle 3 = 30^\circ.
\]
4. Рассмотрим треугольник \(AOC\). Он также является прямоугольным, так как касательная \(AC\) перпендикулярна радиусу \(OC\) в точке касания.
5. Треугольники \(AOB\) и \(AOC\) равны, так как у них общая гипотенуза \(OA\), а катеты \(OB\) и \(OC\) равны (\(OB = OC = R = 3 \, \text{см}\)). Следовательно, длины касательных равны:
\[
AB = AC = 3\sqrt{3} \, \text{см}.
\]
Также равны углы:
\[
\angle 4 = \angle 3 = 30^\circ.
\]
Ответ:
Длины касательных: \(AB = AC = 3\sqrt{3} \, \text{см}\).
Углы: \(\angle 3 = \angle 4 = 30^\circ.\)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.