ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 641 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезки \( AB \) и \( AC \) являются отрезками касательных к окружности с центром \( O \), проведёнными из точки \( A \). Найдите угол \( BAC \), если середина отрезка \( AO \) лежит на окружности.

Дано:
\(OA = 2R\), \(OB = R\), \(AB\) и \(AC\) — касательные. Найти \(\angle BAC\).

Решение:
В треугольнике \(AOB\):
\(
OB = \frac{1}{2} OA,
\)
следовательно, угол \(\angle OAB = 30^\circ\).

Аналогично для треугольника \(AOC\):
\(
\angle OAC = 30^\circ.
\)

Сумма углов:
\(
\angle BAC = \angle OAC + \angle OAB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.
\)

Ответ:
\(\angle BAC = 60^\circ.\)

Дано:
\(AB\) и \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\) и радиусом \(R\).
\(OE = EA\).
Найти: \(\angle BAC\).

Решение:
1) Точки \(B\), \(E\) и \(C\) лежат на окружности (\(O; R\)), следовательно:
\(
OE = OC = OB = R.
\)
Отсюда:
\(
OA = 2OE = 2R.
\)

2) \(AB\) — касательная, следовательно:
\(
OB \perp AB.
\)
Таким образом, треугольник \(AOB\) является прямоугольным.

3) В прямоугольном треугольнике \(AOB\):
\(
AO = 2R, \quad OB = R.
\)
Отношение сторон:
\(
OB = \frac{1}{2} AO.
\)
По свойству прямоугольного треугольника угол напротив меньшей стороны равен \(30^\circ\).
Следовательно:
\(
\angle OAB = 30^\circ.
\)

4) Аналогично для треугольника \(AOC\):
\(
\angle OAC = 30^\circ.
\)

5) Угол \(\angle BAC\) находится как сумма углов:
\(
\angle BAC = \angle OAC + \angle OAB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.
\)

Ответ:
\(\angle BAC = 60^\circ.\)