Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 640 Атанасян — Подробные Ответы
Даны окружность с центром \( O \) радиуса \( 4,5 \, \text{см} \) и точка \( A \). Через точку \( A \) проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если \( OA = 9 \, \text{см} \).
Дано: \(r = 4,5 \, \text{см}\), \(OA = 9 \, \text{см}\), \(AB\) и \(AC\) — касательные. Найти \(\angle BAC\).
Решение:
1) \(AB\) — касательная, значит \(OB \perp AB\), а \(\triangle AOB\) — прямоугольный.
2) В треугольнике \(AOB\): \(OB = \frac{1}{2} OA\), следовательно \(\angle OAB = 30^\circ\).
3) \(AC\) — касательная, значит \(OC \perp AC\), а \(\triangle AOC\) — прямоугольный.
4) В треугольнике \(AOC\): \(OC = \frac{1}{2} OA\), следовательно \(\angle OAC = 30^\circ\).
5) \(\angle BAC = \angle OAC + \angle OAB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\).
Ответ: \(\angle BAC = 60^\circ\).
Дано:
\(r = 4,5 \, \text{см}\), \(OA = 9 \, \text{см}\), \(AB\) и \(AC\) — касательные. Найти \(\angle BAC\).
Решение:
1) \(AB\) — касательная к окружности, следовательно \(OB \perp AB\). Из этого следует, что треугольник \(AOB\) является прямоугольным.
2) Рассмотрим треугольник \(AOB\):
\[
AO = 9 \, \text{см}, \quad OB = 4,5 \, \text{см}.
\]
Так как \(OB = \frac{1}{2} AO\), то угол \(\angle OAB\) можно найти по свойству прямоугольного треугольника, где катет равен половине гипотенузы. Этот угол равен \(30^\circ\).
3) \(AC\) — касательная к окружности, следовательно \(OC \perp AC\). Из этого следует, что треугольник \(AOC\) также является прямоугольным.
4) Рассмотрим треугольник \(AOC\):
\[
AO = 9 \, \text{см}, \quad OC = 4,5 \, \text{см}.
\]
Так как \(OC = \frac{1}{2} AO\), то угол \(\angle OAC\) можно найти по свойству прямоугольного треугольника, где катет равен половине гипотенузы. Этот угол также равен \(30^\circ\).
5) Угол \(\angle BAC\) состоит из двух углов:
\[
\angle BAC = \angle OAC + \angle OAB.
\]
Подставим значения:
\[
\angle BAC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.
\]
Ответ:
\(\angle BAC = 60^\circ\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.