ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 639 Атанасян — Подробные Ответы

Прямая \( AB \) касается окружности с центром \( O \) радиуса \( r \) в точке \( B \). Найдите \( AB \), если \( \angle AOB = 60^\circ, \, r = 12 \, \text{см} \).

Дано:
Окр(\(O, r\)); \(r = 12 \, \text{см}\); \(AB\) — касательная; \(\angle AOB = 60^\circ\).

Найти: \(AB\).

Решение:
Так как \(AB\) — касательная, то радиус \(OB\) перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, треугольник \(AOB\) является прямоугольным, где угол \(\angle AOB = 60^\circ\), гипотенуза — \(AB\), катеты — \(OB\) и \(OA\).

Из определения тангенса:
\(
\tan \angle O = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\)
В данном случае:
\(
\tan \angle O = \frac{AB}{OB}.
\)

Выразим \(AB\):
\(
AB = OB \cdot \tan \angle O.
\)

Подставим известные значения:
\(
OB = r = 12 \, \text{см}, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}.
\)

Тогда:
\(
AB = 12 \cdot \sqrt{3}.
\)

Запишем результат в десятичной форме:
\(
\sqrt{3} \approx 1.732, \quad AB \approx 12 \cdot 1.732 = 20.784 \, \text{см}.
\)

Ответ: \(AB = 12\sqrt{3} \, \text{см}\) или приблизительно \(20.784 \, \text{см}\).

Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(r = 12 \, \text{см}\), \(AB\) — касательная к окружности, угол \(\angle AOB = 60^\circ\).

Найти длину касательной \(AB\).

Решение:
Так как \(AB\) — касательная, радиус \(OB\) перпендикулярен к касательной в точке касания. Следовательно, треугольник \(AOB\) является прямоугольным, где угол \(\angle AOB = 60^\circ\), гипотенуза — \(AB\), катеты — \(OB\) и \(OA\).

Для прямоугольного треугольника используем определение тангенса:
\(
\tan \angle AOB = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\)
В данном случае:
\(
\tan \angle AOB = \frac{AB}{OB}.
\)

Выразим \(AB\):
\(
AB = OB \cdot \tan \angle AOB.
\)

Подставим известные значения:
\(
OB = r = 12 \, \text{см}, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}.
\)

Тогда:
\(
AB = 12 \cdot \sqrt{3}
\)

Приблизительное значение корня:
\(
\sqrt{3} \approx 1.732.
\)

Вычислим длину \(AB\):
\(
AB \approx 12 \cdot 1.732 = 20.784 \, \text{см}.
\)

Ответ: длина касательной \(AB = 12\sqrt{3} \, \text{см}\) или приближённо \(20.784 \, \text{см}\).