ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 636 Атанасян — Подробные Ответы

Через концы хорды \( AB \), равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке \( C \). Найдите угол \( ACB \).

Дано:
\(
p \, \text{и} \, m — \text{касательные}; \, AB — \text{хорда}; \, AB = r.
\)
Найти:
\(
\angle ACB — ?
\)

Решение:
Рассмотрим \(\triangle AOB\). Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны, а \(AB = r\), значит треугольник равносторонний. Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) равны \(60^\circ\).

Углы между радиусами и касательными равны \(90^\circ\), поэтому угол \(\angle CAB = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\), а угол \(\angle CBA = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).

Сумма углов треугольника \(\triangle ACB\) равна \(180^\circ\), следовательно:
\(
\angle ACB = 180^\circ — (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ — (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ.
\)

Ответ:
\(
\angle ACB = 120^\circ.
\)

Дано:
\(
p \, \text{и} \, m — \text{касательные}; \, AB — \text{хорда}; \, AB = r.
\)
Найти:
\(
\angle ACB — ?
\)

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\).
Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны, так как оба являются радиусами окружности. Также дано, что \(AB = r\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOB\) является равносторонним, так как все его стороны равны (\(OA = OB = AB = r\)).
Углы равностороннего треугольника равны \(60^\circ\), поэтому:
\(
\angle A = 60^\circ, \quad \angle B = 60^\circ.
\)

2. Рассмотрим углы между радиусами и касательными.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому углы между радиусами \(OA\) и \(OB\) и касательными \(p\) и \(m\) равны \(90^\circ\).

3. Рассмотрим угол \(\angle CAB\).
Угол \(\angle CAB\) образован радиусом \(OA\) и хордой \(AB\). Так как угол между радиусом и касательной равен \(90^\circ\), а угол \(\angle A\) в треугольнике \(\triangle AOB\) равен \(60^\circ\), то:
\(
\angle CAB = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.
\)

4. Рассмотрим угол \(\angle CBA\).
Угол \(\angle CBA\) образован радиусом \(OB\) и хордой \(AB\). Аналогично предыдущему рассуждению, угол между радиусом и касательной равен \(90^\circ\), а угол \(\angle B\) в треугольнике \(\triangle AOB\) равен \(60^\circ\), то:
\(
\angle CBA = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.
\)

5. Найдём угол \(\angle ACB\).
Треугольник \(\triangle ACB\) является треугольником с вершинами \(A\), \(C\), \(B\). Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно:
\(
\angle ACB = 180^\circ — (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ — (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ.
\)

Ответ:
\(
\angle ACB = 120^\circ.
\)