ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 634 Атанасян — Подробные Ответы

Радиус \( OM \) окружности с центром \( O \) делит хорду \( AB \) пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку \( M \), параллельна хорде \( AB \).

Дано:
\(
OM — \text{радиус}; \, AO_1 = O_1B; \, p — \text{касательная}.
\)

Доказать:
\(
p \parallel AB.
\)

Рассмотрим \(\triangle AOB\):
\(
OA = OB \, (\text{радиусы}),
\)
следовательно, \(\triangle AOB\) — равнобедренный, а \(OM\) — медиана и перпендикулярна \(AB\):
\(
OM \perp AB.
\)
По свойству касательной:
\(
OM \perp p.
\)
Так как \(OM \perp AB\) и \(OM \perp p\), то прямые \(AB\) и \(p\) параллельны:
\(
AB \parallel p.
\)

Дано:
\(
OM — \text{радиус}; \, AO_1 = O_1B; \, p — \text{касательная}.
\)

Доказать:
\(
p \parallel AB.
\)

Рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\).

1. Так как \(OA = OB\) (\(OA\) и \(OB\) являются радиусами окружности), то треугольник \(\triangle AOB\) является равнобедренным.

2. Из свойства равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, \(OM \perp AB\).

3. Рассмотрим касательную \(p\), проведенную через точку \(M\). По свойству касательной радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, \(OM \perp p\).

4. Из двух утверждений: \(OM \perp AB\) и \(OM \perp p\), следует, что прямые \(AB\) и \(p\) параллельны (\(AB \parallel p\)), так как перпендикуляр к одной прямой, совпадающий с перпендикуляром к другой прямой, указывает на их параллельность.

Ответ:
\(
AB \parallel p.
\)