ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 632 Атанасян — Подробные Ответы

Расстояние от точки \( A \) до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку \( A \), является секущей по отношению к данной окружности.

Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\), точка \(A\) лежит на прямой \(a\), \(AO < r\).

Рассмотрим расстояние \(OC\) от центра окружности \(O\) до прямой \(a\), где \(OC \perp a\).

В прямоугольном треугольнике \(ACO\):
\[
OC = \sqrt{AO^2 — AC^2}
\]
Так как \(AO < r\), то \(OC < r\).

Следовательно, прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках и является секущей.

Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\), точка \(A\) лежит на прямой \(a\), при этом \(AO < r\). Требуется доказать, что прямая \(a\) является секущей окружности.

Решение:

1. Построим перпендикуляр \(OC\) от центра окружности \(O\) к прямой \(a\). Расстояние \(OC\) является кратчайшим расстоянием от точки \(O\) до прямой \(a\).

2. Рассмотрим треугольник \(ACO\), в котором \(\angle C = 90^\circ\) (по построению \(OC \perp a\)). Согласно теореме Пифагора:
\[
OC = \sqrt{AO^2 — AC^2}
\]

3. Так как по условию \(AO < r\), то рассмотрим значение \(OC\):
\[
OC = \sqrt{AO^2 — AC^2}, \quad AO^2 — AC^2 < r^2, \quad \text{следовательно} \, OC < r.
\]

4. Если расстояние \(OC < r\), это означает, что прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках (так как она ближе к центру, чем радиус окружности).

Таким образом, доказано, что прямая \(a\) является секущей окружности.