Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 626 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, если
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1},
\]
где \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы треугольников.
Дано: \(\triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1; AB = AC, A_1B_1 = A_1C_1, AD = A_1D_1, AD, A_1D_1\) — биссектрисы.
Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
Рассмотрим \(\triangle AED\) и \(\triangle A_1E_1D_1\). Из условия задачи \(DE \parallel AB\) и \(D_1E_1 \parallel A_1B_1\). По теореме о пропорциональности сторон в треугольнике:
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}.
\]
Так как \(AD\) — биссектриса, то
\[
\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}.
\]
Следовательно,
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}.
\]
Аналогично в \(\triangle A_1B_1C_1\):
\[
\frac{C_1E_1}{A_1E_1} = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}.
\]
Из условия задачи
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1},
\]
а также
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{C_1E_1}{A_1E_1}.
\]
Следовательно,
\[
\triangle AED \sim \triangle A_1E_1D_1 \, (\text{по трём сторонам}),
\]
и
\[
\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \, (\text{по второму признаку подобия треугольников}).
\]
Доказательство завершено.
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), где \(AB = AC\) и \(A_1B_1 = A_1C_1\). \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы треугольников. Требуется доказать, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
Рассмотрим доказательство поэтапно:
1. Рассмотрим \(\triangle ABC\). Пусть \(DE \parallel AB\). Тогда по теореме о пропорциональности сторон в треугольнике:
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{CD}{DB}.
\]
Поскольку \(AD\) — биссектриса, то:
\[
\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}.
\]
Следовательно:
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}.
\]
2. Аналогично в треугольнике \(\triangle A_1B_1C_1\):
\[
\frac{C_1E_1}{A_1E_1} = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}.
\]
3. Из условия задачи известно, что:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}.
\]
Также из предыдущих шагов:
\[
\frac{CE}{EA} = \frac{C_1E_1}{A_1E_1}.
\]
4. Рассмотрим треугольники \(\triangle AED\) и \(\triangle A_1E_1D_1\). Из условия задачи \(DE \parallel AB\) и \(D_1E_1 \parallel A_1B_1\). Следовательно, стороны этих треугольников пропорциональны:
\[
\frac{AE}{AD} = \frac{A_1E_1}{A_1D_1}.
\]
5. В треугольнике \(\triangle AED\):
\(\angle 2 = \angle 3\) (так как \(AD\) — биссектриса), а также \(\angle 1 = \angle 3\) (как накрест лежащие углы). Следовательно, \(DE = EA\).
6. Аналогично в треугольнике \(\triangle A_1E_1D_1\):
\(D_1E_1 = E_1A_1\).
7. Таким образом, треугольники \(\triangle AED\) и \(\triangle A_1E_1D_1\) подобны по трём сторонам. Следовательно, их углы равны:
\[
\angle 2 = \angle 4.
\]
8. Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Из условия задачи \(\angle A = \angle A_1\), а также:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}.
\]
Следовательно, треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников:
\[
\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.
\]
Доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.