ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 625 Атанасян — Подробные Ответы

Основание \(AD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) в 5 раз больше основания \(BC\). Высота \(BH\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(M\), площадь треугольника \(AMH\) равна \(4 \, \text{см}^2\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).  

Дано: \( ABCD \) — равнобедренная трапеция; \( AB = CD \); \( \angle A = \angle D \); \( BH \perp AD \); \( BC = 5AD \); \( S_{AMH} = 4 \, \text{см}^2 \).
Найти: \( S_{ABCD} \).

Решение:
1) Проведем \( CK \perp AD \), тогда \( HK = BC \).

2) \( AH = \frac{(AD — HK)}{2} = \frac{(5BC — BC)}{2} = 2BC \), отсюда
\(
\frac{AH}{BC} = 2.
\)

3) Рассмотрим \( \triangle AMH \) и \( \triangle CBM \):
\( \angle AMH = \angle CMB \) (как вертикальные) и \( \angle A = \angle C \) (как накрестлежащие), значит \( \triangle AMH \sim \triangle CBM \) (по двум углам), отсюда
\(
\frac{MH}{MB} = \frac{AH}{BC}.
\)

4) \( \frac{MH}{MB} = 2 \), отсюда \( MH = 2MB \Rightarrow BH = \frac{3}{2}MH \).

5) По условию \( S_{AMH} = \frac{1}{2} AH \cdot MH = 4 \, \text{см}^2 \) и \( AH = 2BC \), отсюда
\(
BC \cdot MH = 4 \, \text{см}^2.
\)

6) \( S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH \);
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2}(5BC + BC) \cdot \frac{3}{2}MH;
\)
\(
S_{ABCD} = 4.5 \cdot BC \cdot MH;
\)
\(
S_{ABCD} = 4.5 \cdot 4 = 18 \, \text{см}^2.
\)

Ответ: \( S_{ABCD} = 18 \, \text{см}^2 \).

Дано: \( ABCD \) — равнобедренная трапеция, \( AB = CD \), \( \angle A = \angle D \), \( BH \perp AD \), \( BC = 5AD \), \( S_{AMH} = 4 \, \text{см}^2 \).
Найти: \( S_{ABCD} \).

Решение:
Проведем \( CK \perp AD \), тогда \( HK = BC \).
Высота \( AH = \frac{(AD — HK)}{2} = \frac{(5BC — BC)}{2} = 2BC \). Отсюда
\(
\frac{AH}{BC} = 2.
\)

Рассмотрим \( \triangle AMH \) и \( \triangle CBM \):
\( \triangle AMH \sim \triangle CBM \) (по двум углам), отсюда
\(
\frac{MH}{MB} = \frac{AH}{BC}.
\)
Из этого следует, что \( \frac{MH}{MB} = 2 \), то есть \( MH = 2MB \).
Высота \( BH = \frac{3}{2}MH \).

По условию \( S_{AMH} = \frac{1}{2} AH \cdot MH = 4 \, \text{см}^2 \), и \( AH = 2BC \), тогда
\(
BC \cdot MH = 4 \, \text{см}^2.
\)

Площадь трапеции:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BH = \frac{1}{2}(5BC + BC) \cdot \frac{3}{2}MH.
\)
Подставляем значения:
\(
S_{ABCD} = 4.5 \cdot BC \cdot MH = 4.5 \cdot 4 = 18 \, \text{см}^2.
\)

Ответ: \( S_{ABCD} = 18 \, \text{см}^2 \).