Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 622 Атанасян — Подробные Ответы
На стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK = \frac{1}{4} KD\). Диагональ \(AC\) и отрезок \(BK\) пересекаются в точке \(P\). Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\), если площадь треугольника \(APK\) равна \(1 \, \text{см}^2\).
Рассмотрим треугольники \( \triangle APK \) и \( \triangle CBP \). Углы \( \angle APK \) и \( \angle CPB \) вертикальные, а углы \( \angle A \) и \( \angle C \) накрест лежащие. Следовательно, \( \triangle APK \sim \triangle CBP \) (по двум углам).
Из подобия треугольников:
\[
\frac{BP}{PK} = \frac{BC}{AK}.
\]
По условию \( AK = \frac{1}{4} KD \), значит \( AK = \frac{1}{5} AD = \frac{1}{5} BC \). Отсюда:
\[
\frac{BC}{AK} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{BP}{PK} = 5.
\]
Площадь треугольника \( \triangle APB \) вычисляется как:
\[
S_{APB} = 5 \cdot S_{APK} = 5 \cdot 1 = 5 \, \text{см}^2.
\]
Коэффициент подобия между треугольниками \( \triangle APK \) и \( \triangle CBP \):
\[
k = \frac{BC}{AK} = 5.
\]
Площадь треугольника \( \triangle CBP \):
\[
S_{CBP} = k^2 \cdot S_{APK} = 25 \cdot 1 = 25 \, \text{см}^2.
\]
Площадь треугольника \( \triangle ABC \):
\[
S_{ABC} = S_{APB} + S_{CBP} = 5 + 25 = 30 \, \text{см}^2.
\]
Площадь параллелограмма \( ABCD \):
\[
S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 30 = 60 \, \text{см}^2.
\]
Ответ:
\[
S_{ABCD} = 60 \, \text{см}^2.
\]
Дано: параллелограмм \(ABCD\), \(AK = \frac{1}{4}KD\), \(S_{APK} = 1 \, \text{см}^2\).
Найти: \(S_{ABCD}\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольники \( \triangle APK \) и \( \triangle CBP \). Углы \( \angle APK \) и \( \angle CPB \) вертикальные, а углы \( \angle A \) и \( \angle C \) накрест лежащие. Следовательно, треугольники \( \triangle APK \sim \triangle CBP \) (по двум углам).
Из подобия треугольников следует, что отношения их сторон равны:
\[
\frac{BP}{PK} = \frac{BC}{AK}.
\]
2. По условию \( AK = \frac{1}{4}KD \). Так как \( KD \) является частью стороны \( AD \) параллелограмма, то \( AK = \frac{1}{5}AD \). Учитывая, что противоположные стороны параллелограмма равны (\( AD = BC \)), получаем:
\[
AK = \frac{1}{5}BC.
\]
Подставляем это значение в отношение сторон:
\[
\frac{BC}{AK} = \frac{BC}{\frac{1}{5}BC} = 5.
\]
Таким образом, коэффициент подобия треугольников \( \triangle APK \) и \( \triangle CBP \) равен \( 5 \):
\[
\frac{BP}{PK} = 5.
\]
3. Площадь треугольника \( \triangle APB \) можно найти, используя площадь треугольника \( \triangle APK \) и коэффициент подобия. Поскольку высота \( PK \) является общей для обоих треугольников, то площади относятся как квадраты коэффициентов подобия:
\[
S_{APB} = 5 \cdot S_{APK} = 5 \cdot 1 = 5 \, \text{см}^2.
\]
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle APK \) и \( \triangle CBP \). Коэффициент подобия между ними уже найден: \( k = 5 \). Площади треугольников также относятся как квадраты коэффициентов подобия:
\[
\frac{S_{CBP}}{S_{APK}} = k^2 = 5^2 = 25.
\]
Площадь треугольника \( \triangle CBP \):
\[
S_{CBP} = 25 \cdot S_{APK} = 25 \cdot 1 = 25 \, \text{см}^2.
\]
5. Площадь треугольника \( \triangle ABC \) состоит из суммы площадей треугольников \( \triangle APB \) и \( \triangle CBP \):
\[
S_{ABC} = S_{APB} + S_{CBP} = 5 + 25 = 30 \, \text{см}^2.
\]
6. Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна удвоенной площади треугольника \( \triangle ABC \), так как \( ABCD \) состоит из двух равных треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \):
\[
S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 30 = 60 \, \text{см}^2.
\]
Ответ:
\[
S_{ABCD} = 60 \, \text{см}^2.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.