ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 620 Атанасян — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) (\(AB \neq AC\)) через середину стороны \(BC\) проведена прямая, параллельная биссектрисе угла \(A\), которая пересекает прямые \(AB\) и \(AC\) соответственно в точках \(D\) и \(E\). Докажите, что \(BD = CE\). 

Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\) — биссектриса; \(DK = KC\); \(KD \perp AA_1\).
Доказать: \(BD = EC\).

Доказательство:

1. \(AA_1\) — биссектриса, следовательно:
\[
\frac{AB}{A_1B} = \frac{AC}{A_1C}.
\]

2. Рассмотрим \(\triangle DBK\) и \(\triangle ABA_1\):
\(\angle B\) — общий и \(\angle A = \angle D\) (как соответственные).
Значит, \(\triangle DBK \sim \triangle ABA_1\) (по двум углам), отсюда:
\[
\frac{BD}{BA} = \frac{KB}{A_1B}.
\]

Отсюда:
\[
BD = \frac{BK \cdot AB}{A_1B}.
\]

3. Рассмотрим \(\triangle AA_1C\) и \(\triangle DEKC\):
\(\angle C\) — общий и \(\angle A = \angle E\) (как соответственные).
Значит, \(\triangle AA_1C \sim \triangle DEKC\) (по двум углам), отсюда:
\[
\frac{AC}{KC} = \frac{AC}{EC}.
\]

Отсюда:
\[
EC = \frac{KC \cdot AC}{A_1C}.
\]

4. Так как \(BK = KC\) и
\[
\frac{AB}{A_1B} = \frac{AC}{A_1C},
\]
значит \(BD = EC\), что и требовалось доказать.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\) — биссектриса; \(DK = KC\); \(KD \perp AA_1\).
Доказать: \(BD = EC\).

Рассмотрим полное доказательство.

1. По свойству биссектрисы треугольника:
\[
\frac{AB}{A_1B} = \frac{AC}{A_1C}.
\]
Это отношение нам понадобится для дальнейших вычислений.

2. Рассмотрим треугольники \(\triangle DBK\) и \(\triangle ABA_1\).
У них:
— угол \(\angle B\) общий;
— угол \(\angle D\) равен углу \(\angle A\), так как \(KD \perp AA_1\), а \(AA_1\) — биссектриса, делящая угол пополам.

Следовательно, треугольники \(\triangle DBK\) и \(\triangle ABA_1\) подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
\[
\frac{BD}{BA} = \frac{BK}{A_1B}.
\]

Выразим \(BD\):
\[
BD = \frac{BK \cdot AB}{A_1B}.
\]

3. Рассмотрим треугольники \(\triangle AA_1C\) и \(\triangle DEKC\).
У них:
— угол \(\angle C\) общий;
— угол \(\angle E\) равен углу \(\angle A\), так как \(KD \perp AA_1\), а \(AA_1\) — биссектриса.

Следовательно, треугольники \(\triangle AA_1C\) и \(\triangle DEKC\) подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
\[
\frac{AC}{KC} = \frac{A_1C}{EC}.
\]

Выразим \(EC\):
\[
EC = \frac{KC \cdot AC}{A_1C}.
\]

4. По условию задачи \(DK = KC\), следовательно, \(BK = KC\). Также из свойства биссектрисы:
\[
\frac{AB}{A_1B} = \frac{AC}{A_1C}.
\]

Подставляя эти данные в выражения для \(BD\) и \(EC\), получаем:
\[
BD = \frac{BK \cdot AB}{A_1B}, \quad EC = \frac{KC \cdot AC}{A_1C}.
\]

Так как \(BK = KC\) и \(\frac{AB}{A_1B} = \frac{AC}{A_1C}\), то \(BD = EC\).
Что и требовалось доказать.