ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 619 Атанасян — Подробные Ответы

Биссектриса внешнего угла при вершине \( A \) треугольника \( ABC \) пересекает прямую \( BC \) в точке \( D \). Докажите, что

\(
\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}
\)

Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса, \(D \in BC\).
Доказать: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Высота \(AH\) общая для этих треугольников, следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\)

Площади треугольников выражаются как:
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} DM \cdot AB,\quad S_{ACD} = \frac{1}{2} DK \cdot AC.
\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ADK\) и \(\triangle ADM\). У них общая сторона \(AD\), и углы при вершине \(A\) равны (\(AD\) — биссектриса). Следовательно, треугольники равны, а \(DM = DK\).

Подставим равенство \(DM = DK\) в формулы для площадей:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\)

Так как \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}\), получаем:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)
Что и требовалось доказать.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса, \(D \in BC\).
Требуется доказать: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Высота \(AH\), проведенная из вершины \(A\) к стороне \(BC\), общая для этих треугольников. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований \(BD\) и \(DC\):
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\)

Площадь треугольника \(\triangle ABD\) можно выразить через основание \(BD\) и высоту \(AH\):
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH.
\)

Аналогично, площадь треугольника \(\triangle ACD\) через основание \(DC\) и высоту \(AH\):
\(
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot AH.
\)

Отношение площадей треугольников будет:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot AH}.
\)

Сокращаем одинаковые множители (\(\frac{1}{2}\) и \(AH\)):
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\)

Теперь выразим площади треугольников через стороны \(\triangle ABC\). Площадь \(\triangle ABD\) также можно записать через биссектрису \(AD\), отрезок \(DM\) (перпендикуляр, опущенный на \(AB\)) и сторону \(AB\):
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM.
\)

Аналогично, площадь \(\triangle ACD\):
\(
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DK.
\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ADM\) и \(\triangle ADK\). У них общая гипотенуза \(AD\), а углы при вершине \(A\) равны (\(AD\) — биссектриса). Следовательно, треугольники равны (по гипотенузе и острому углу), а значит, \(DM = DK\).

Подставим равенство \(DM = DK\) в формулы для площадей:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot DM}{AC \cdot DK}.
\)

Так как \(DM = DK\), то:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\)

Мы ранее установили, что \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}\). Следовательно:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

Таким образом, доказано, что отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению сторон треугольника, заключающих угол, из которого проведена биссектриса.