Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 618 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(M\) и \(N\) являются соответственно серединами сторон \(CD\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\). Докажите, что прямые \(AM\) и \(AN\) делят диагональ \(BD\) на три равные части.
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(BN = NC\), \(CM = MD\), \(N \in BC\), \(M \in CD\), \(AN \cap BD = O\), \(AM \cap BD = P\).
Доказать: \(BO = OP = PD\).
Решение:
1. Рассмотрим \(\triangle ABC\). \(AN\) и \(BQ\) — медианы, поэтому \(BO : OQ = 2 : 1\).
Из этого следует, что \(BO = \frac{2}{3}BQ\), а \(BQ = QD = \frac{1}{2}BD\).
Таким образом, \(BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD\).
2. Рассмотрим \(\triangle ACD\). \(AM\) и \(DQ\) — медианы, поэтому \(DP : PQ = 2 : 1\).
Из этого следует, что \(DP = \frac{2}{3}PQ\), а \(PQ = QD = \frac{1}{2}BD\).
Таким образом, \(DP = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD\).
3. \(OP = BD — BO — DP = BD — \frac{1}{3}BD — \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD\).
Следовательно, \(BO = OP = PD\).
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(BN = NC\), \(CM = MD\), \(N \in BC\), \(M \in CD\), \(AN \cap BD = O\), \(AM \cap BD = P\).
Доказать: \(BO = OP = PD\).
Решение:
1. Рассмотрим \(\triangle ABC\).
Поскольку \(N\) — середина \(BC\), а \(AN\) — медиана, то точка пересечения медиан \(O\) делит медиану \(AN\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(A\).
Аналогично, медиана \(BQ\) делится точкой \(O\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(B\).
Таким образом, \(BO : OQ = 2 : 1\).
2. Рассмотрим \(\triangle ACD\).
Поскольку \(M\) — середина \(CD\), а \(AM\) — медиана, то точка пересечения медиан \(P\) делит медиану \(AM\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(A\).
Аналогично, медиана \(DQ\) делится точкой \(P\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(D\).
Таким образом, \(DP : PQ = 2 : 1\).
3. Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(Q\), которая является их общей серединой. Следовательно, \(BQ = QD\).
4. Теперь выразим длины отрезков \(BO\), \(OQ\), \(DP\) и \(PQ\) через длину диагонали \(BD\).
Из пункта 1 мы знаем, что \(BO : OQ = 2 : 1\).
Обозначим длину диагонали \(BD\) через \(x\). Тогда \(BQ = QD = \frac{x}{2}\).
Поскольку \(BO = \frac{2}{3}BQ\), имеем:
\[
BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{3}.
\]
5. Аналогично, из пункта 2 мы знаем, что \(DP : PQ = 2 : 1\).
Поскольку \(DP = \frac{2}{3}PQ\), а \(PQ = QD = \frac{x}{2}\), имеем:
\[
DP = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{3}.
\]
6. Теперь найдём длину \(OP\).
Поскольку \(BD = BO + OQ + OP + PQ + DP\), имеем:
\[
OP = BD — BO — DP = x — \frac{x}{3} — \frac{x}{3} = x — \frac{2x}{3} = \frac{x}{3}.
\]
7. Таким образом, \(BO = OP = PD = \frac{x}{3}\).
Ответ: \(BO = OP = PD\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.