Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 617 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Дано: \(ABCD\) — ромб; \(M, N, P, Q\) — середины сторон. Доказать, что \(MNPQ\) — прямоугольник.
Рассмотрим треугольник \(ABC\): \(MN\) — средняя линия, следовательно, \(MN \parallel AC\) и \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Рассмотрим треугольник \(ADC\): \(PQ\) — средняя линия, следовательно, \(PQ \parallel AC\) и \(PQ = \frac{1}{2}AC\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\): \(MQ\) — средняя линия, следовательно, \(MQ \parallel BD\) и \(MQ = \frac{1}{2}BD\).
Рассмотрим треугольник \(BCD\): \(NP\) — средняя линия, следовательно, \(NP \parallel BD\) и \(NP = \frac{1}{2}BD\).
Так как \(MN \parallel PQ\) и \(MQ \parallel NP\), то \(MNPQ\) — параллелограмм. Учитывая, что \(BD \perp AC\), получаем, что \(MN \perp MQ\), следовательно, \(MNPQ\) — прямоугольник.
Что и требовалось доказать.
Дано: \(ABCD\) — ромб, \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, AD\) соответственно. Требуется доказать, что \(MNPQ\) — прямоугольник.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). По свойству средней линии треугольника, отрезок \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\). Следовательно, \(MN \parallel AC\) и \(MN = \frac{1}{2}AC\).
2. Рассмотрим треугольник \(ADC\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины сторон \(CD\) и \(AD\). По свойству средней линии треугольника, отрезок \(PQ\) является средней линией треугольника \(ADC\). Следовательно, \(PQ \parallel AC\) и \(PQ = \frac{1}{2}AC\).
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что \(MN \parallel PQ\) и \(MN = PQ\).
4. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Точки \(M\) и \(Q\) — середины сторон \(AB\) и \(AD\). По свойству средней линии треугольника, отрезок \(MQ\) является средней линией треугольника \(ABD\). Следовательно, \(MQ \parallel BD\) и \(MQ = \frac{1}{2}BD\).
5. Рассмотрим треугольник \(BCD\). Точки \(N\) и \(P\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\). По свойству средней линии треугольника, отрезок \(NP\) является средней линией треугольника \(BCD\). Следовательно, \(NP \parallel BD\) и \(NP = \frac{1}{2}BD\).
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что \(MQ \parallel NP\) и \(MQ = NP\).
7. Так как \(MN \parallel PQ\) и \(MQ \parallel NP\), то четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом.
8. Учитывая, что \(ABCD\) — ромб, его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под прямым углом (\(AC \perp BD\)). Следовательно, \(MN \perp MQ\).
9. Параллелограмм \(MNPQ\), у которого соседние стороны \(MN\) и \(MQ\) взаимно перпендикулярны, является прямоугольником.
Ответ: \(MNPQ\) — прямоугольник. Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.