Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 616 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
Дано:
\[
\Delta ABC, \quad a — \text{прямая}; \quad EF \parallel AC; \quad AN \perp a; \quad BP \perp a; \quad CM \perp a; \quad EF \subset a;
\]
Доказать:
\[
BP = CM = AN.
\]
Доказательство:
1. Рассмотрим \(\Delta BPF\) и \(\Delta MFC\) — прямоугольные:
\[
BF = FC \quad (\text{по условию}), \quad \angle BFP = \angle MFC \quad (\text{как вертикальные}),
\]
значит, \(\Delta BPF \cong \Delta MFC\) (по гипотенузе и острому углу). Отсюда:
\[
BP = CM.
\]
2. Рассмотрим \(\Delta AEN\) и \(\Delta BPF\) — прямоугольные:
\[
EB = EA \quad (\text{по условию}), \quad \angle BEP = \angle NEA \quad (\text{как вертикальные}),
\]
значит, \(\Delta AEN \cong \Delta BPF\) (по гипотенузе и острому углу). Отсюда:
\[
AN = BP.
\]
3. \[
BP = CM \quad \text{и} \quad BP = AN, \quad \text{значит} \quad CM = AN = BP.
\]
Что и требовалось доказать.
Дано:
\[
\Delta ABC, \quad a — \text{прямая}; \quad EF \parallel AC; \quad AN \perp a; \quad BP \perp a; \quad CM \perp a; \quad EF \subset a;
\]
Доказать:
\[
BP = CM = AN.
\]
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники \(\Delta BPF\) и \(\Delta MFC\).
Эти треугольники прямоугольные, так как \(BP \perp a\) и \(CM \perp a\).
По условию дано, что \(BF = FC\), а также углы \(\angle BFP\) и \(\angle MFC\) являются вертикальными:
\[
\angle BFP = \angle MFC.
\]
Следовательно, треугольники \(\Delta BPF\) и \(\Delta MFC\) равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует, что:
\[
BP = CM.
\]
2. Рассмотрим треугольники \(\Delta AEN\) и \(\Delta BPF\).
Эти треугольники также прямоугольные, так как \(AN \perp a\) и \(BP \perp a\).
По условию дано, что \(EB = EA\), а также углы \(\angle BEP\) и \(\angle NEA\) являются вертикальными:
\[
\angle BEP = \angle NEA.
\]
Следовательно, треугольники \(\Delta AEN\) и \(\Delta BPF\) равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует, что:
\[
AN = BP.
\]
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что:
\[
BP = CM \quad \text{и} \quad BP = AN.
\]
Таким образом:
\[
CM = AN = BP.
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.