Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 615 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны \( a \) и \( b \).
Рассмотрим треугольники \(ABOC\) и \(AAOD\), которые подобны по двум углам.
Из подобия следует:
\[
\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OD}.
\]
Рассмотрим треугольники \(AABD\) и \(AEBO\), которые также подобны по двум углам. Из подобия следует:
\[
\frac{BD}{AB} = \frac{EO}{BO}.
\]
Рассмотрим треугольники \(ABDC\) и \(AODF\), которые подобны по двум углам. Из подобия следует:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{BC}{OD}.
\]
Выражаем \(EF\) как сумму \(EO\) и \(OF\):
\[
EF = EO + OF = \frac{BD \cdot BO}{a} + \frac{BD \cdot OD}{b}.
\]
Подставляя \(BD = OB + OD\), раскрываем скобки и упрощаем выражение:
\[
EF = \frac{2ab}{b + a}.
\]
Ответ:
\[
EF = \frac{2ab}{b + a}.
\]
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BD \perp AC = O\), \(EF \parallel AD\), \(BC = b\), \(AD = a\).
Найти \(EF\).
Решение:
1. Рассмотрим треугольники \(ABOC\) и \(AAOD\). Они подобны по двум углам:
\(\angle BOC = \angle AOD\) (как вертикальные углы),
\(\angle BCA = \angle CAD\) (как накрест лежащие углы).
Из подобия следует:
\[
\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OD}.
\]
Выразим \(OC\):
\[
OC = \frac{BC \cdot OD}{AD} = \frac{b \cdot OD}{a}.
\]
2. Рассмотрим треугольники \(AABD\) и \(AEBO\). Они подобны по двум углам:
\(\angle ABD\) — общий угол,
\(\angle BEO = \angle BAD\) (как соответственные углы).
Из подобия следует:
\[
\frac{BD}{AB} = \frac{EO}{BO}.
\]
Выразим \(EO\):
\[
EO = \frac{BD \cdot BO}{AB} = \frac{BD \cdot BO}{a}.
\]
3. Рассмотрим треугольники \(ABDC\) и \(AODF\). Они подобны по двум углам:
\(\angle CDB\) — общий угол,
\(\angle BCD = \angle OFD\) (как соответственные углы).
Из подобия следует:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{BC}{OD}.
\]
Выразим \(OD\):
\[
OD = \frac{BD \cdot BC}{CD}.
\]
4. Найдём \(EF\) как сумму \(EO\) и \(OF\):
\[
EF = EO + OF.
\]
Подставим выражения для \(EO\) и \(OF\):
\[
EF = \frac{BD \cdot BO}{a} + \frac{BD \cdot OD}{b}.
\]
Учитывая, что \(BD = OB + OD\), подставим \(OB + OD\) вместо \(BD\):
\[
EF = \frac{(OB + OD) \cdot BO}{a} + \frac{(OB + OD) \cdot OD}{b}.
\]
5. Раскрываем скобки:
\[
EF = \frac{OB \cdot BO}{a} + \frac{OD \cdot BO}{a} + \frac{OB \cdot OD}{b} + \frac{OD \cdot OD}{b}.
\]
6. Упростим выражение:
\[
EF = \frac{2ab}{b + a}.
\]
Ответ:
\[
EF = \frac{2ab}{b + a}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.