Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 613 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) подобны, если:
а)
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{BM_1},
\]
где \( BM \) и \( B_1M_1 \) — медианы треугольников;
б)
\[
\angle A = \angle A_1, \quad \frac{AC}{AC_1} = \frac{BH}{B_1H_1},
\]
где \( BH \) и \( B_1H_1 \) — высоты треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \).
Вариант А:
Дано:
\[
\Delta ABC; \Delta A_1B_1C_1; \quad BM, B_1M_1 \text{ — медианы}.
\]
\[
AM = \frac{1}{2}AC, \quad A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1.
\]
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AC}{A_1C_1}.
\]
\[
\Delta ABM \sim \Delta A_1B_1M_1 \text{ (по трем сторонам)}, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
Рассмотрим \(\Delta ABC\) и \(\Delta A_1B_1C_1\):
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
Следовательно,
\[
\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \text{ (по двум сторонам и углу между ними)}.
\]
Что и требовалось доказать.
Вариант Б:
Дано:
\[
\Delta ABC; \Delta A_1B_1C_1; \quad BM, B_1M_1 \text{ — высоты}.
\]
\[
\angle ABH = \angle A_1B_1H_1 = 90^\circ, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
\[
\Delta ABH \sim \Delta A_1B_1H_1 \text{ (по двум углам)}, \quad \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AH}{A_1H_1}.
\]
Рассмотрим \(\Delta ABC\) и \(\Delta A_1B_1C_1\):
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
Следовательно,
\[
\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \text{ (по двум сторонам и углу между ними)}.
\]
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим два случая: медианы и высоты треугольников.
Вариант А. Медианы треугольников.
Дано:
\[
\Delta ABC, \Delta A_1B_1C_1; \quad BM, B_1M_1 \text{ — медианы}.
\]
Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому:
\[
AM = \frac{1}{2}AC, \quad A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1.
\]
По условию задано, что треугольники подобны, то есть:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}.
\]
Так как медианы пропорциональны сторонам, то:
\[
\frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AC}{A_1C_1}.
\]
Из этого следует, что:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BM}{B_1M_1}.
\]
Рассмотрим треугольники \( \Delta ABM \) и \( \Delta A_1B_1M_1 \). У них:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BM}{B_1M_1}, \quad \frac{AM}{A_1M_1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{AC}{A_1C_1}.
\]
Таким образом, треугольники \( \Delta ABM \) и \( \Delta A_1B_1M_1 \) подобны по трём сторонам. Следовательно:
\[
\angle A = \angle A_1.
\]
Теперь рассмотрим треугольники \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \). У них:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
По признаку подобия (две стороны пропорциональны, а угол между ними равен) имеем:
\[
\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1.
\]
Что и требовалось доказать.
Вариант Б. Высоты треугольников.
Дано:
\[
\Delta ABC, \Delta A_1B_1C_1; \quad BM, B_1M_1 \text{ — высоты}.
\]
Высота образует прямой угол с основанием, то есть:
\[
\angle ABH = \angle A_1B_1H_1 = 90^\circ.
\]
По условию также дано, что:
\[
\angle A = \angle A_1.
\]
Рассмотрим треугольники \( \Delta ABH \) и \( \Delta A_1B_1H_1 \). У них:
\[
\angle ABH = \angle A_1B_1H_1 = 90^\circ, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
Следовательно, треугольники \( \Delta ABH \) и \( \Delta A_1B_1H_1 \) подобны по двум углам. Из подобия следует:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AH}{A_1H_1}.
\]
Теперь рассмотрим треугольники \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \). У них:
\[
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \angle A = \angle A_1.
\]
По признаку подобия (две стороны пропорциональны, а угол между ними равен) имеем:
\[
\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1.
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.