Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 611 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что медиана \( AM \) треугольника \( ABC \) делит пополам любой отрезок, параллельный стороне \( BC \), концы которого лежат на сторонах \( AB \) и \( AC \).
Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — медиана, \( ED \parallel AM \), \( ED \perp BC \), \( E \in AB \), \( D \in AC \).
Доказать: \( EO = OD \).
Рассмотрим \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \). У них общий угол \( \angle BAM \), а также равны соответственные углы \( \angle AEO = \angle ABM \). Следовательно, \( \triangle AEO \sim \triangle BAM \) по двум углам. Из подобия:
\[
\frac{EO}{AO} = \frac{AM}{BM}, \quad \text{отсюда} \quad EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}.
\]
Рассмотрим \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \). У них общий угол \( \angle MAC \), а также равны соответственные углы \( \angle ADO = \angle ACM \). Следовательно, \( \triangle AOD \sim \triangle AMC \) по двум углам. Из подобия:
\[
\frac{OD}{AO} = \frac{AM}{MC}, \quad \text{отсюда} \quad OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\]
Так как медиана делит противоположную сторону на две равные части, то \( BM = MC \). Следовательно, \( EO = OD \), что и требовалось доказать.
Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — медиана, \( ED \parallel AM \), \( ED \perp BC \), \( E \in AB \), \( D \in AC \).
Доказать: \( EO = OD \).
Рассмотрим треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \).
1. У них общий угол \( \angle BAM \).
2. Углы \( \angle AEO \) и \( \angle ABM \) равны как соответственные углы при параллельных прямых \( ED \parallel AM \) и секущей \( AB \).
Следовательно, треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\(
\frac{EO}{AO} = \frac{AM}{BM}.
\)
Отсюда выражаем \( EO \):
\(
EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}.
\)
Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \).
1. У них общий угол \( \angle MAC \).
2. Углы \( \angle ADO \) и \( \angle ACM \) равны как соответственные углы при параллельных прямых \( ED \parallel AM \) и секущей \( AC \).
Следовательно, треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\(
\frac{OD}{AO} = \frac{AM}{MC}.
\)
Отсюда выражаем \( OD \):
\(
OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\)
Поскольку медиана \( AM \) делит противоположную сторону \( BC \) на две равные части, то \( BM = MC \).
Подставляем это равенство в выражения для \( EO \) и \( OD \):
\(
EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}, \quad OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\)
Так как \( BM = MC \), то \( EO = OD \).
Таким образом, доказано, что \( EO = OD \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.