ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 611 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что медиана \( AM \) треугольника \( ABC \) делит пополам любой отрезок, параллельный стороне \( BC \), концы которого лежат на сторонах \( AB \) и \( AC \).

Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — медиана, \( ED \parallel AM \), \( ED \perp BC \), \( E \in AB \), \( D \in AC \).
Доказать: \( EO = OD \).

Рассмотрим \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \). У них общий угол \( \angle BAM \), а также равны соответственные углы \( \angle AEO = \angle ABM \). Следовательно, \( \triangle AEO \sim \triangle BAM \) по двум углам. Из подобия:
\[
\frac{EO}{AO} = \frac{AM}{BM}, \quad \text{отсюда} \quad EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}.
\]

Рассмотрим \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \). У них общий угол \( \angle MAC \), а также равны соответственные углы \( \angle ADO = \angle ACM \). Следовательно, \( \triangle AOD \sim \triangle AMC \) по двум углам. Из подобия:
\[
\frac{OD}{AO} = \frac{AM}{MC}, \quad \text{отсюда} \quad OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\]

Так как медиана делит противоположную сторону на две равные части, то \( BM = MC \). Следовательно, \( EO = OD \), что и требовалось доказать.

Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — медиана, \( ED \parallel AM \), \( ED \perp BC \), \( E \in AB \), \( D \in AC \).
Доказать: \( EO = OD \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \).

1. У них общий угол \( \angle BAM \).
2. Углы \( \angle AEO \) и \( \angle ABM \) равны как соответственные углы при параллельных прямых \( ED \parallel AM \) и секущей \( AB \).

Следовательно, треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle BAM \) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\(
\frac{EO}{AO} = \frac{AM}{BM}.
\)
Отсюда выражаем \( EO \):
\(
EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}.
\)

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \).

1. У них общий угол \( \angle MAC \).
2. Углы \( \angle ADO \) и \( \angle ACM \) равны как соответственные углы при параллельных прямых \( ED \parallel AM \) и секущей \( AC \).

Следовательно, треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle AMC \) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
\(
\frac{OD}{AO} = \frac{AM}{MC}.
\)
Отсюда выражаем \( OD \):
\(
OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\)

Поскольку медиана \( AM \) делит противоположную сторону \( BC \) на две равные части, то \( BM = MC \).

Подставляем это равенство в выражения для \( EO \) и \( OD \):
\(
EO = \frac{AM \cdot AO}{BM}, \quad OD = \frac{AM \cdot AO}{MC}.
\)
Так как \( BM = MC \), то \( EO = OD \).

Таким образом, доказано, что \( EO = OD \).