ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 610 Атанасян — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне \( AB \) треугольника \( ABC \), делит сторону \( AC \) в отношении \( 2 : 7 \), считая от вершины \( A \). Найдите стороны отсечённого треугольника, если \( AB = 10 \, \text{см} \), \( BC = 18 \, \text{см} \), \( CA = 21,6 \, \text{см} \).

Дано: \( \triangle ABC \), \( DE \parallel AB \), \( \frac{AD}{DC}=\frac{2}{7} \), \( AB=10 \,\text{см} \), \( BC=18 \,\text{см} \), \( AC=21,6 \,\text{см} \).

Решение: 1. Найдем \( AD \) и \( CD \). Пусть \( AD=x \), тогда \( CD=21,6-x \). По условию \( \frac{AD}{DC}=\frac{2}{7} \), подставим \( \frac{x}{21,6-x}=\frac{2}{7} \). Применим свойства пропорции \( 7x=2(21,6-x) \), раскроем скобки \( 7x=43,2-2x \), перенесем \( 9x=43,2 \), \( x=4,8 \,\text{см} \). Тогда \( CD=21,6-4,8=16,8 \,\text{см} \).

2. Найдем \( BE \) и \( CE \). Пусть \( BE=y \), тогда \( CE=18-y \). По условию \( \frac{BE}{CE}=\frac{2}{7} \), подставим \( \frac{y}{18-y}=\frac{2}{7} \). Применим свойства пропорции \( 7y=2(18-y) \), раскроем скобки \( 7y=36-2y \), перенесем \( 9y=36 \), \( y=4 \,\text{см} \). Тогда \( CE=18-4=14 \,\text{см} \).

3. Найдем \( ED \). Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACED \) подобны (\( \angle C \) общий, \( \angle CED=\angle CBA \)). Из подобия \( \frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{ED}{AB} \). Подставим \( \frac{CE}{CB}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9} \), \( \frac{CD}{CA}=\frac{16,8}{21,6}=\frac{7}{9} \), \( \frac{ED}{AB}=\frac{ED}{10} \). Тогда \( \frac{ED}{10}=\frac{7}{9} \), \( ED=\frac{7}{9}\cdot10=\frac{70}{9}=7\frac{7}{9} \,\text{см} \).

Ответ: \( ED=7\frac{7}{9} \,\text{см};\ CD=16,8 \,\text{см};\ CE=14 \,\text{см}. \)

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \), прямая \( DE \parallel AB \). Известно, что \( \frac{AD}{DC} = \frac{2}{7} \), \( AB = 10 \, \text{см} \), \( BC = 18 \, \text{см} \), \( AC = 21,6 \, \text{см} \).

Требуется найти: \( ED \), \( CD \), \( CE \).

Решение:

1. Найдем длины отрезков \( AD \) и \( CD \).
Пусть \( AD = x \), тогда \( CD = 21,6 — x \). По условию:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{2}{7}.
\]
Подставим выражения \( AD = x \) и \( DC = 21,6 — x \) в пропорцию:
\[
\frac{x}{21,6 — x} = \frac{2}{7}.
\]
Применим свойства пропорции:
\[
7x = 2(21,6 — x).
\]
Раскроем скобки:
\[
7x = 43,2 — 2x.
\]
Перенесем все слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\[
7x + 2x = 43,2.
\]
Сложим:
\[
9x = 43,2.
\]
Найдем \( x \):
\[
x = \frac{43,2}{9} = 4,8 \, \text{см}.
\]
Таким образом, \( AD = 4,8 \, \text{см} \), а \( CD = 21,6 — 4,8 = 16,8 \, \text{см} \).

2. Найдем длины отрезков \( BE \) и \( CE \).
Пусть \( BE = y \), тогда \( CE = 18 — y \). По условию:
\[
\frac{BE}{CE} = \frac{2}{7}.
\]
Подставим выражения \( BE = y \) и \( CE = 18 — y \) в пропорцию:
\[
\frac{y}{18 — y} = \frac{2}{7}.
\]
Применим свойства пропорции:
\[
7y = 2(18 — y).
\]
Раскроем скобки:
\[
7y = 36 — 2y.
\]
Перенесем все слагаемые с \( y \) в одну сторону:
\[
7y + 2y = 36.
\]
Сложим:
\[
9y = 36.
\]
Найдем \( y \):
\[
y = \frac{36}{9} = 4 \, \text{см}.
\]
Таким образом, \( BE = 4 \, \text{см} \), а \( CE = 18 — 4 = 14 \, \text{см} \).

3. Найдем длину \( ED \).
Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACED \) подобны, так как:
1) \( \angle C \) общий,
2) \( \angle CED = \angle CBA \) (как соответственные углы при параллельных прямых \( DE \parallel AB \)).

Из подобия треугольников следует пропорция:
\[
\frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA} = \frac{ED}{AB}.
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{CE}{CB} = \frac{14}{18}, \quad \frac{CD}{CA} = \frac{16,8}{21,6}, \quad \frac{ED}{AB} = \frac{ED}{10}.
\]
Проверим равенство \( \frac{14}{18} = \frac{16,8}{21,6} \):
\[
\frac{14}{18} = \frac{7}{9}, \quad \frac{16,8}{21,6} = \frac{7}{9}.
\]
Таким образом, пропорция выполняется:
\[
\frac{ED}{10} = \frac{7}{9}.
\]
Найдем \( ED \):
\[
ED = \frac{7}{9} \cdot 10 = \frac{70}{9} = 7 \frac{7}{9} \, \text{см}.
\]

Ответ:
\( ED = 7 \frac{7}{9} \, \text{см}; \ CD = 16,8 \, \text{см}; \ CE = 14 \, \text{см}. \)