ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 609 Атанасян — Подробные Ответы

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(D\) так, что
\(
\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}.
\)
Докажите, что \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\).

Дано:
\(\triangle ABC\); \(D \in BC\);
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

Доказать:
\(AD\) — биссектриса \(\triangle ABC\).

Доказательство:
По условию выполнено равенство:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)
Согласно свойству биссектрисы, если отрезок делит противоположную сторону треугольника в отношении, равном отношению прилежащих сторон, то этот отрезок является биссектрисой. Следовательно, \(AD\) — биссектриса.

Дано:

\(\triangle ABC\), точка \(D\) принадлежит стороне \(BC\),
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

Доказать:
\(AD\) — биссектриса треугольника \(\triangle ABC\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). Точка \(D\) принадлежит стороне \(BC\), и по условию известно, что отношение отрезков \(BD\) и \(DC\) равно отношению сторон \(AB\) и \(AC\):
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

2. Согласно свойству биссектрисы треугольника, если отрезок делит противоположную сторону треугольника в отношении, равном отношению длин сторон, заключающих угол, то этот отрезок является биссектрисой.

3. Проверим выполнение данного условия:
Отрезок \(AD\) делит сторону \(BC\) на два отрезка \(BD\) и \(DC\), при этом выполняется равенство:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

4. Следовательно, \(AD\) является биссектрисой угла \(\angle BAC\) в треугольнике \(\triangle ABC\), так как выполнено указанное свойство биссектрисы.

Ответ: \(AD\) — биссектриса треугольника \(\triangle ABC\).