Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 599 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями \( 2 \, \text{см} \) и \( 6 \, \text{см} \), если угол при большем основании равен \( \alpha \).
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AB = CD\), \(\angle A = \alpha\), \(BC = 2 \, \text{см}\), \(AD = 6 \, \text{см}\).
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CFD\). Они равны, следовательно, \(AE = FD\).
Выразим \(AD\):
\(
AD = AE + EF + FD = 2AE + EF.
\)
Так как \(EF = BC = 2\), то:
\(
AD = 2AE + 2.
\)
Подставляем \(AD = 6\):
\(
6 = 2AE + 2, \, 2AE = 4, \, AE = 2, \, FD = 2.
\)
Высота трапеции:
\(
BE = AE \cdot \tan \alpha = 2 \cdot \tan \alpha.
\)
Площадь трапеции:
\(
S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE = \frac{2 + 6}{2} \cdot (2 \cdot \tan \alpha).
\)
Упрощаем:
\(
S_{ABCD} = 4 \cdot (2 \cdot \tan \alpha) = 8 \cdot \tan \alpha.
\)
Ответ:
\(
S_{ABCD} = 8 \cdot \tan \alpha \, \text{см}^2.
\)
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AB = CD\), \(\angle A = \alpha\), \(BC = 2 \, \text{см}\), \(AD = 6 \, \text{см}\).
Найти: \(S_{ABCD}\).
Решение:
1. Так как \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, её боковые стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а боковые стороны \(BC\) и \(AD\) равны. Углы при основании равны: \(\angle A = \angle D = \alpha\).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ABE\) и \(\triangle CFD\), которые образуются, если опустить высоты из точек \(B\) и \(C\) на основание \(AD\). Эти треугольники равны, так как \(\angle A = \angle D\), а также \(AB = CD\). Следовательно, катеты \(AE\) и \(FD\) равны.
3. Выразим длину основания \(AD\) через отрезки \(AE\), \(EF\) и \(FD\):
\(
AD = AE + EF + FD.
\)
Так как \(EF = BC = 2 \, \text{см}\), то:
\(
AD = AE + 2 + FD.
\)
С учётом равенства \(AE = FD\):
\(
AD = 2AE + 2.
\)
Подставляем значение \(AD = 6 \, \text{см}\):
\(
6 = 2AE + 2.
\)
Решаем уравнение:
\(
2AE = 4, \, AE = 2 \, \text{см}.
\)
Следовательно, \(FD = 2 \, \text{см}\).
4. Найдём высоту трапеции \(BE\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABE\) высота \(BE\) выражается через катет \(AE\) и угол \(\alpha\):
\(
BE = AE \cdot \tan \alpha.
\)
Подставляем значение \(AE = 2 \, \text{см}\):
\(
BE = 2 \cdot \tan \alpha.
\)
5. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE.
\)
Подставляем значения \(BC = 2 \, \text{см}\), \(AD = 6 \, \text{см}\) и \(BE = 2 \cdot \tan \alpha\):
\(
S_{ABCD} = \frac{2 + 6}{2} \cdot (2 \cdot \tan \alpha).
\)
Упрощаем:
\(
S_{ABCD} = 4 \cdot (2 \cdot \tan \alpha) = 8 \cdot \tan \alpha.
\)
Ответ:
\(
S_{ABCD} = 8 \cdot \tan \alpha \, \text{см}^2.
\)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.