Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 598 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом \( \alpha \) при основании, если:
а) боковая сторона равна \( b \);
б) основание равно \( a \).
Дано:
\[
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AB = BC = b.
\]
Найти:
\[
S_{\Delta ABC}.
\]
Решение:
1. Высота \(BH\) определяется через синус угла:
\[
BH = b \cdot \sin \alpha.
\]
2. Основание \(AC\) выражается через косинус угла:
\[
AC = 2b \cdot \cos \alpha.
\]
3. Площадь треугольника находим по формуле:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH.
\]
Подставляем значения \(AC\) и \(BH\):
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \cos \alpha) \cdot (b \cdot \sin \alpha).
\]
Упрощаем:
\[
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\]
Ответ:
\[
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\]
Дано:
\[
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AC = a, \ AB = BC.
\]
Найти:
\[
S_{\Delta ABC}.
\]
Решение:
1. Высота \(BH\) выражается через тангенс угла:
\[
BH = \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2}.
\]
2. Площадь треугольника:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC.
\]
Подставляем значение \(BH\):
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2} \cdot AC.
\]
Упрощаем:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\]
Ответ:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\]
Дано:
\[
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AB = BC = b.
\]
Найти:
\[
S_{\Delta ABC}.
\]
Решение:
1. По определению синуса угла:
\[
\sin \alpha = \frac{BH}{AB}.
\]
Отсюда:
\[
BH = \sin \alpha \cdot AB = b \cdot \sin \alpha.
\]
2. Так как \(\Delta ABC\) равнобедренный, то углы при основании равны:
\[
\angle A = \angle C = \alpha.
\]
Это следует из свойства равнобедренного треугольника.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta ABH\) и \(\Delta BCH\).
Из условия:
\[
AB = BC = b, \ \angle A = \angle C = \alpha.
\]
По гипотенузе и острому углу треугольники равны:
\[
\Delta ABH = \Delta BCH.
\]
Следовательно, \(AH = HC\) (по свойству равных треугольников).
4. Выразим \(AC\):
\[
AC = AH + HC.
\]
5. По определению косинуса угла:
\[
\cos \alpha = \frac{AH}{AB}.
\]
Отсюда:
\[
AH = \cos \alpha \cdot AB = \cos \alpha \cdot b.
\]
Так как \(AH = HC\), то:
\[
AC = AH + HC = \cos \alpha \cdot b + \cos \alpha \cdot b = 2b \cdot \cos \alpha.
\]
6. Теперь найдем площадь треугольника:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH.
\]
Подставим выражения для \(AC\) и \(BH\):
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \cos \alpha) \cdot (b \cdot \sin \alpha).
\]
Упростим:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\]
Ответ:
\[
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\]
—
Дано:
\[
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AC = a, \ AB = BC.
\]
Найти:
\[
S_{\Delta ABC}.
\]
Решение:
1. Из условия треугольник \(\Delta ABC\) равнобедренный, и \(BH\) является высотой.
По свойству равнобедренного треугольника, высота является также медианой:
\[
BH — \text{медиана}, \ \text{следовательно,} \ AH = HC = \frac{AC}{2}.
\]
2. Углы при основании равны:
\[
\angle A = \angle C = \alpha.
\]
Это следует из свойства равнобедренного треугольника.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ABH\).
По определению тангенса угла:
\[
\tan \alpha = \frac{BH}{AH}.
\]
Подставим \(AH = \frac{AC}{2}\):
\[
\tan \alpha = \frac{BH}{\frac{AC}{2}}.
\]
Отсюда:
\[
BH = \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2}.
\]
4. Найдем площадь треугольника:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC.
\]
Подставим выражение для \(BH\):
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2} \cdot AC.
\]
Упростим:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{2} = \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\]
Ответ:
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.