ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 598 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом \( \alpha \) при основании, если:  

а) боковая сторона равна \( b \);  

б) основание равно \( a \).

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AB = BC = b.
\)

Найти:
\(
S_{\Delta ABC}.
\)

Решение:

1. Высота \(BH\) определяется через синус угла:
\(
BH = b \cdot \sin \alpha.
\)

2. Основание \(AC\) выражается через косинус угла:
\(
AC = 2b \cdot \cos \alpha.
\)

3. Площадь треугольника находим по формуле:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH.
\)
Подставляем значения \(AC\) и \(BH\):
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \cos \alpha) \cdot (b \cdot \sin \alpha).
\)
Упрощаем:
\(
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\)

Ответ:
\(
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\)

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AC = a, \ AB = BC.
\)

Найти:
\(
S_{\Delta ABC}.
\)

Решение:

1. Высота \(BH\) выражается через тангенс угла:
\(
BH = \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2}.
\)

2. Площадь треугольника:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC.
\)
Подставляем значение \(BH\):
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2} \cdot AC.
\)
Упрощаем:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\)

Ответ:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\)

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AB = BC = b.
\)

Найти:
\(
S_{\Delta ABC}.
\)

Решение:

1. По определению синуса угла:
\(
\sin \alpha = \frac{BH}{AB}.
\)
Отсюда:
\(
BH = \sin \alpha \cdot AB = b \cdot \sin \alpha.
\)

2. Так как \(\Delta ABC\) равнобедренный, то углы при основании равны:
\(
\angle A = \angle C = \alpha.
\)
Это следует из свойства равнобедренного треугольника.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta ABH\) и \(\Delta BCH\).
Из условия:
\(
AB = BC = b, \ \angle A = \angle C = \alpha.
\)
По гипотенузе и острому углу треугольники равны:
\(
\Delta ABH = \Delta BCH.
\)
Следовательно, \(AH = HC\) (по свойству равных треугольников).

4. Выразим \(AC\):
\(
AC = AH + HC.
\)

5. По определению косинуса угла:
\(
\cos \alpha = \frac{AH}{AB}.
\)
Отсюда:
\(
AH = \cos \alpha \cdot AB = \cos \alpha \cdot b.
\)
Так как \(AH = HC\), то:
\(
AC = AH + HC = \cos \alpha \cdot b + \cos \alpha \cdot b = 2b \cdot \cos \alpha.
\)

6. Теперь найдем площадь треугольника:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH.
\)
Подставим выражения для \(AC\) и \(BH\):
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \cos \alpha) \cdot (b \cdot \sin \alpha).
\)
Упростим:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\)

Ответ:
\(
S_{\Delta ABC} = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\)

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{равнобедренный}, \ \angle A = \alpha, \ AC = a, \ AB = BC.
\)

Найти:
\(
S_{\Delta ABC}.
\)

Решение:

1. Из условия треугольник \(\Delta ABC\) равнобедренный, и \(BH\) является высотой.
По свойству равнобедренного треугольника, высота является также медианой:
\(
BH — \text{медиана}, \ \text{следовательно,} \ AH = HC = \frac{AC}{2}.
\)

2. Углы при основании равны:
\(
\angle A = \angle C = \alpha.
\)
Это следует из свойства равнобедренного треугольника.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ABH\).
По определению тангенса угла:
\(
\tan \alpha = \frac{BH}{AH}.
\)
Подставим \(AH = \frac{AC}{2}\):
\(
\tan \alpha = \frac{BH}{\frac{AC}{2}}.
\)
Отсюда:
\(
BH = \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2}.
\)

4. Найдем площадь треугольника:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC.
\)
Подставим выражение для \(BH\):
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC \cdot \tan \alpha}{2} \cdot AC.
\)
Упростим:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{2} = \frac{AC^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\)

Ответ:
\(
S_{\Delta ABC} = \frac{a^2 \cdot \tan \alpha}{4}.
\)