ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 596 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \( c \), а один из острых углов равен \( \alpha \).  

а) Выразите второй острый угол и катеты через \( c \) и \( \alpha \).  

б) Найдите их значения, если \( c = 24 \, \text{см} \), \( \alpha = 35^\circ \).

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{прямоугольный}, \, \angle C = 90^\circ, \, AB = c = 24 \, \text{см}, \, \angle A = \alpha = 35^\circ.
\)

а) Выразим стороны \( BC \), \( AC \) и угол \( \angle B \) через \( \alpha \) и \( c \):
1. По определению косинуса:
\(
AC = c \cdot \cos \alpha.
\)
2. По определению синуса:
\(
BC = c \cdot \sin \alpha.
\)
3. Угол \( \angle B \):
\(
\angle B = 90^\circ — \alpha.
\)

б) Найдем численные значения:
1. Угол \( \angle B \):
\(
\angle B = 90^\circ — 35^\circ = 55^\circ.
\)

2. Сторона \( BC \):
\(
BC = c \cdot \sin \alpha = 24 \cdot \sin 35^\circ = 24 \cdot 0,5736 = 13,7664 \, \text{см}.
\)
Округлим:
\(
BC \approx 13 \, \frac{23}{30} \, \text{см}.
\)

3. Сторона \( AC \):
\(
AC = c \cdot \cos \alpha = 24 \cdot \cos 35^\circ = 24 \cdot 0,8192 = 19,6608 \, \text{см}.
\)
Округлим:
\(
AC \approx 19 \, \frac{33}{50} \, \text{см}.
\)

Ответ:
а)
\(
BC = c \cdot \sin \alpha, \, AC = c \cdot \cos \alpha, \, \angle B = 90^\circ — \alpha.
\)
б)
\(
\angle B = 55^\circ, \, BC \approx 13 \, \frac{23}{30} \, \text{см}, \, AC \approx 19 \, \frac{33}{50} \, \text{см}.
\)

Дано:
\(
\Delta ABC — \text{прямоугольный}, \, \angle C = 90^\circ, \, AB = c = 24 \, \text{см}, \, \angle A = \alpha = 35^\circ.
\)

а) Выразим стороны \( BC \), \( AC \) и угол \( \angle B \) через \( \alpha \) и \( c \):
1. Сторона \( AC \) находится по определению косинуса угла:
\(
\cos \alpha = \frac{AC}{AB}.
\)
Отсюда:
\(
AC = AB \cdot \cos \alpha = c \cdot \cos \alpha.
\)

2. Сторона \( BC \) находится по определению синуса угла:
\(
\sin \alpha = \frac{BC}{AB}.
\)
Отсюда:
\(
BC = AB \cdot \sin \alpha = c \cdot \sin \alpha.
\)

3. Угол \( \angle B \) находится по свойству прямоугольного треугольника:
\(
\angle B = 90^\circ — \alpha.
\)

б) Найдем численные значения:
1. Угол \( \angle B \):
\(
\angle B = 90^\circ — 35^\circ = 55^\circ.
\)

2. Сторона \( BC \):
\(
BC = c \cdot \sin \alpha = 24 \cdot \sin 35^\circ.
\)
Вычислим значение \( \sin 35^\circ \):
\(
\sin 35^\circ \approx 0,5736.
\)
Подставим:
\(
BC = 24 \cdot 0,5736 = 13,7664 \, \text{см}.
\)
Округлим:
\(
BC \approx 13 \, \frac{23}{30} \, \text{см}.
\)

3. Сторона \( AC \):
\(
AC = c \cdot \cos \alpha = 24 \cdot \cos 35^\circ.
\)
Вычислим значение \( \cos 35^\circ \):
\(
\cos 35^\circ \approx 0,8192.
\)
Подставим:
\(
AC = 24 \cdot 0,8192 = 19,6608 \, \text{см}.
\)
Округлим:
\(
AC \approx 19 \, \frac{33}{50} \, \text{см}.
\)

Ответ:
а)
\(
BC = c \cdot \sin \alpha, \, AC = c \cdot \cos \alpha, \, \angle B = 90^\circ — \alpha.
\)
б)
\(
\angle B = 55^\circ, \, BC \approx 13 \, \frac{23}{30} \, \text{см}, \, AC \approx 19 \, \frac{33}{50} \, \text{см}.
\)