ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 594 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен \( b \), а противолежащий угол равен \( \beta \).  

а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через \( b \) и \( \beta \).  

б) Найдите их значения, если \( b = 10 \, \text{см} \), \( \beta = 50^\circ \).

Дано:
\(
\triangle ABC, \quad \angle C = 90^\circ.
\)
a) \( AC = b \), \( \angle B = \beta \);
б) \( b = 10 \, \text{см} \), \( \beta = 50^\circ \).

Найти:
\(
BC — ?, \quad AB — ?, \quad \angle A — ?.
\)

Решение:
а) Из определения:
\(
\tan \beta = \frac{AC}{BC}, \quad BC = \frac{AC}{\tan \beta}.
\)
\(
\sin \beta = \frac{AC}{AB}, \quad AB = \frac{b}{\sin \beta}.
\)
\(
\angle A = 90^\circ — \beta.
\)

б)
\(
BC = \frac{b}{\tan 50^\circ} = \frac{10}{1{,}1918} \approx 8{,}39 \, \text{см}.
\)
\(
AB = \frac{b}{\sin 50^\circ} = \frac{10}{0{,}766} \approx 13{,}05 \, \text{см}.
\)
\(
\angle A = 90^\circ — 50^\circ = 40^\circ.
\)

Ответ:
а) \( BC = \frac{b}{\tan \beta} \), \( AB = \frac{b}{\sin \beta} \), \( \angle A = 90^\circ — \beta \);
б) \( BC \approx 8{,}39 \, \text{см} \), \( AB \approx 13{,}05 \, \text{см} \), \( \angle A = 40^\circ \).

Дано:
\(
\triangle ABC, \quad \angle C = 90^\circ.
\)
a) \( AC = b \), \( \angle B = \beta \);
б) \( b = 10 \, \text{см} \), \( \beta = 50^\circ \).

Найти:
\(
BC — ?, \quad AB — ?, \quad \angle A — ?.
\)

Решение:

1. Определим угол \( \angle A \):
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \), а один из углов \( \angle C = 90^\circ \). Следовательно:
\(
\angle A = 90^\circ — \beta.
\)
Подставим значение \( \beta = 50^\circ \):
\(
\angle A = 90^\circ — 50^\circ = 40^\circ.
\)

2. Найдем катет \( BC \):
По определению тангенса:
\(
\tan \beta = \frac{AC}{BC}.
\)
Отсюда:
\(
BC = \frac{AC}{\tan \beta}.
\)
Подставим значение \( AC = b = 10 \, \text{см} \):
\(
BC = \frac{10}{\tan 50^\circ}.
\)
Значение \( \tan 50^\circ \approx 1{,}1918 \):
\(
BC = \frac{10}{1{,}1918} \approx 8{,}39 \, \text{см}.
\)
Ответ в виде десятичной дроби:
\(
BC \approx 8{,}39 \, \text{см}.
\)

3. Найдем гипотенузу \( AB \):
По определению синуса:
\(
\sin \beta = \frac{AC}{AB}.
\)
Отсюда:
\(
AB = \frac{AC}{\sin \beta}.
\)
Подставим значение \( AC = b = 10 \, \text{см} \):
\(
AB = \frac{10}{\sin 50^\circ}.
\)
Значение \( \sin 50^\circ \approx 0{,}766 \):
\(
AB = \frac{10}{0{,}766} \approx 13{,}05 \, \text{см}.
\)
Ответ в виде десятичной дроби:
\(
AB \approx 13{,}05 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(
BC \approx 8{,}39 \, \text{см}, \quad AB \approx 13{,}05 \, \text{см}, \quad \angle A = 40^\circ.
\)