Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 593 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите:
а) \( \sin \alpha \) и \( \tan \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \);
б) \( \sin \alpha \) и \( \tan \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \);
в) \( \cos \alpha \) и \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
г) \( \cos \alpha \) и \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \).
а) Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Находим \( \sin \alpha \):
\[
\sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.
\]
б) Дано: \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Находим \( \sin \alpha \):
\[
\sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\]
в) Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Находим \( \cos \alpha \):
\[
\cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.
\]
г) Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Находим \( \cos \alpha \):
\[
\cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}.
\]
а) Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Подставляем значение \( \cos \alpha \):
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1.
\]
Вычисляем квадрат косинуса:
\[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1.
\]
Вычитаем \( \frac{1}{4} \):
\[
\sin^2 \alpha = 1 — \frac{1}{4}.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
\sin^2 \alpha = \frac{4}{4} — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Извлекаем корень:
\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}.
\]
Делим дроби:
\[
\tan \alpha = \sqrt{3}.
\]
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \tan \alpha = \sqrt{3} \).
б) Дано: \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Подставляем значение \( \cos \alpha \):
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1.
\]
Вычисляем квадрат косинуса:
\[
\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1.
\]
Вычитаем \( \frac{4}{9} \):
\[
\sin^2 \alpha = 1 — \frac{4}{9}.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
\sin^2 \alpha = \frac{9}{9} — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
\]
Извлекаем корень:
\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}.
\]
Делим дроби:
\[
\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}.
\]
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}, \, \tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
в) Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Подставляем значение \( \sin \alpha \):
\[
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Вычисляем квадрат синуса:
\[
\frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Вычитаем \( \frac{3}{4} \):
\[
\cos^2 \alpha = 1 — \frac{3}{4}.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
\cos^2 \alpha = \frac{4}{4} — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.
\]
Извлекаем корень:
\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}.
\]
Делим дроби:
\[
\tan \alpha = \sqrt{3}.
\]
Ответ: \( \cos \alpha = \frac{1}{2}, \, \tan \alpha = \sqrt{3} \).
г) Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Подставляем значение \( \sin \alpha \):
\[
\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Вычисляем квадрат синуса:
\[
\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1.
\]
Вычитаем \( \frac{1}{16} \):
\[
\cos^2 \alpha = 1 — \frac{1}{16}.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
\cos^2 \alpha = \frac{16}{16} — \frac{1}{16} = \frac{15}{16}.
\]
Извлекаем корень:
\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.
\]
Находим \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}.
\]
Делим дроби:
\[
\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{15}}.
\]
Рационализируем знаменатель:
\[
\tan \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}.
\]
Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}, \, \tan \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.