Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 592 Атанасян — Подробные Ответы
Постройте угол \( \alpha \), если:
а) \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \);
б) \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \);
в) \( \cos \alpha = 0{,}2 \);
г) \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \);
д) \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \);
е) \( \sin \alpha = 0{,}4 \).
а) Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[
\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow BC = 1, AC = 2.
\]
Гипотенуза \( AB \) находится по теореме Пифагора:
\[
AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
\]
б) Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[
\tan \alpha = \frac{3}{4} \Rightarrow BC = 3, AC = 4.
\]
Гипотенуза \( AB \) находится по теореме Пифагора:
\[
AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
\]
в) Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\[
\cos \alpha = 0{,}2 \Rightarrow AC = 0{,}2 \cdot AB.
\]
Выбираем \( AB = 5 \), тогда \( AC = 1 \). Находим \( BC \) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{5^2 — 1^2} = \sqrt{25 — 1} = \sqrt{24}.
\]
г) Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\[
\cos \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow AC = \frac{2}{3} \cdot AB.
\]
Выбираем \( AB = 3 \), тогда \( AC = 2 \). Находим \( BC \) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{3^2 — 2^2} = \sqrt{9 — 4} = \sqrt{5}.
\]
д) Синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[
\sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow BC = \frac{1}{2} \cdot AB.
\]
Выбираем \( AB = 2 \), тогда \( BC = 1 \). Находим \( AC \) по теореме Пифагора:
\[
AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{2^2 — 1^2} = \sqrt{4 — 1} = \sqrt{3}.
\]
е) Синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[
\sin \alpha = 0{,}4 \Rightarrow BC = 0{,}4 \cdot AB.
\]
Выбираем \( AB = 5 \), тогда \( BC = 2 \). Находим \( AC \) по теореме Пифагора:
\[
AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{5^2 — 2^2} = \sqrt{25 — 4} = \sqrt{21}.
\]
а) Дано: \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \).
Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть:
\[
\tan \alpha = \frac{BC}{AC}.
\]
Пусть \( BC = 1 \), \( AC = 2 \). Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:
\[
AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = 1 \), \( AC = 2 \) и гипотенузой \( AB = \sqrt{5} \).
б) Дано: \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \).
Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть:
\[
\tan \alpha = \frac{BC}{AC}.
\]
Пусть \( BC = 3 \), \( AC = 4 \). Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:
\[
AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = 3 \), \( AC = 4 \) и гипотенузой \( AB = 5 \).
в) Дано: \( \cos \alpha = 0{,}2 \).
Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть:
\[
\cos \alpha = \frac{AC}{AB}.
\]
Пусть \( AB = 5 \), тогда \( AC = 0{,}2 \cdot AB = 1 \). Найдем \( BC \) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{5^2 — 1^2} = \sqrt{25 — 1} = \sqrt{24}.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = \sqrt{24} \), \( AC = 1 \) и гипотенузой \( AB = 5 \).
г) Дано: \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \).
Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть:
\[
\cos \alpha = \frac{AC}{AB}.
\]
Пусть \( AB = 3 \), тогда \( AC = \frac{2}{3} \cdot AB = 2 \). Найдем \( BC \) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{3^2 — 2^2} = \sqrt{9 — 4} = \sqrt{5}.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = \sqrt{5} \), \( AC = 2 \) и гипотенузой \( AB = 3 \).
д) Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \).
Синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть:
\[
\sin \alpha = \frac{BC}{AB}.
\]
Пусть \( AB = 2 \), тогда \( BC = \frac{1}{2} \cdot AB = 1 \). Найдем \( AC \) по теореме Пифагора:
\[
AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{2^2 — 1^2} = \sqrt{4 — 1} = \sqrt{3}.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = 1 \), \( AC = \sqrt{3} \) и гипотенузой \( AB = 2 \).
е) Дано: \( \sin \alpha = 0{,}4 \).
Синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть:
\[
\sin \alpha = \frac{BC}{AB}.
\]
Пусть \( AB = 5 \), тогда \( BC = 0{,}4 \cdot AB = 2 \). Найдем \( AC \) по теореме Пифагора:
\[
AC = \sqrt{AB^2 — BC^2} = \sqrt{5^2 — 2^2} = \sqrt{25 — 4} = \sqrt{21}.
\]
Таким образом, треугольник построен с катетами \( BC = 2 \), \( AC = \sqrt{21} \) и гипотенузой \( AB = 5 \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.